Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …

Szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … – rozbieżny szereg, którego składnikami są kolejne liczby naturalne.

$N$-ta suma cząstkowa tego szeregu jest liczbą trójkątną

$S_n=\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$

która rośnie nieograniczenie wraz z $n$ zmierzającym do nieskończoności. Suma cząstkowa S_n jest parzystą liczbą doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą Mersenne’a $(n=2^p-1),$ a $p$ jest liczbą pierwszą.

Chociaż szereg jest rozbieżny, istnieją metody pozwalające przypisać mu pewną wartość liczbową, która znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak analiza zespolona, kwantowa teoria pola czy teoria strun.

Sumowalność

W przeciwieństwie do szeregu przemiennego 1 − 2 + 3 − 4 + …, szereg 1 + 2 + 3 + 4 + … nie jest sumowalny metodą Abela, bo jego funkcja tworząca

$1+2x+3x^2+4x^3+\dots =\frac{1}{(1-x{)}^2}$

ma biegun dla $x=1$.

Szereg ten może być jednak zsumowany za pomocą regularyzacji funkcją dzeta. Mianowicie

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s},$   dla   $\mathrm{r}\mathrm{e}s>1$

gdzie $\mathrm{r}\mathrm{e}s$ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej $s,$   $\zeta (s)$ jest funkcją dzeta Riemanna.

Suma ta jest rozbieżna dla $\mathrm{r}\mathrm{e}s⩽1,$ jednak jej przedłużenie analityczne daje dla argumentu $s=-1:$

$\zeta (-1)=1+2+3+4+\dots =-\frac{1}{12}$.

Fizyka

Szereg taki pojawia się w teorii strun bozonowych przy próbie obliczenia możliwych poziomów energetycznych strun, na przykład najniższego możliwego poziomu energetycznego. Stosując nieformalny opis, każda harmoniczna struny może być widoczna jako kolekcja $D$ niezależnych kwantowych oscylatorów harmonicznych, gdzie $D$ jest wymiarem czasoprzestrzeni. Jeśli podstawowa częstotliwość harmoniczna to $\omega$ to energia drgań $n$-tej harmonicznej wynosi $n\hslash \omega /2.$ Sumowanie takiego rozbieżnego szeregu prowadzi do wyniku $-\hslash \omega D/24.$

Zobacz też

• szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …
• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj – opis efektu Casimira.