Szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …

Asymptotyczna charakterystyka szeregu rozbieżnego 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.

Szereg 1 + 1 + 1 + 1 + … – szereg rozbieżny, czyli niemający skończonej sumy według podstawowej definicji. Jego sumy cząstkowe rosną do nieskończoności. Można go zapisywać również jako $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^0.$

Jeśli taki szereg pojawia się podczas analizy zjawisk fizycznych, może on być czasami interpretowany przez zastosowanie regularyzacji funkcją dzeta, tj. w tym przypadku określenie wartości funkcji dzeta Riemanna w punkcie $s=0$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}.$

Oba wyrażenia podane wyżej nie są „wyliczalne” dla wartości zero, dlatego też stosuje się przedłużenie analityczne funkcji dzeta Riemanna

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s).$

Dzięki niemu (wiedząc, że $\mathrm{\Gamma }(1)=1$) otrzymujemy:

$\zeta (0)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\zeta (1-s)=\frac{1}{\pi }\underset{s\to 0}{\lim }(\frac{\pi s}{2}-\frac{{\pi }^3{s}^3}{48}+\dots )(-\frac{1}{s}+\dots )=-\frac{1}{2},$

gdzie rozwinięcie w szereg potęgowy $\zeta (s)$ w otoczeniu $s=1$ zachodzi, ponieważ $\zeta (s)$ ma w nim pojedynczy biegun z residuum równym 1. W tym sensie $1+1+1+1+\dots =\zeta (0)=-\frac{1}{2}$.

Zobacz też

• szereg Grandiego
• szereg 1 + 2 + 3 + 4 + …
• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …