Symbol q-Pochhammera

Szablon:Spis treści Symbol $q$ -Pochhammera – $q$ -analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

(a; q)_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1}) .

Symbol $q$ -Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym $q$ -analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub $q$ -szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric $q$ -series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol $q$ -Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

(a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}) .

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej $q$ we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej $q .$ Przypadek szczególny

ϕ (q) = (q; q)_{\infty} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{k})

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

$q$ -szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej $q,$ zazwyczaj zależne od $q$ poprzez symbole $q$ -Pochhammera.

Tożsamości

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

(a; q)_{n} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a q^{n}; q)_{\infty}},

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite $n .$ Dla nieujemnych $n$ otrzymuje się więc

(a; q)_{- n} = \frac{1}{(a q^{- n}; q)_{n}}

oraz

(a; q)_{- n} = \frac{(- q / a)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q / a; q)_{n}} .

Symbol $q$ -Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości $q$ -szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

(x; q)_{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q; q)_{n}} x^{n}

oraz

\frac{1}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(q; q)_{n}},

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o $q$ -dwumianie:

\frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} .

Interpretacja kombinatoryczna

Szablon:Zobacz też Symbol $q$ -Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik $q^{m} a^{n}$ w

(a; q)_{\infty}^{- 1} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k})^{- 1}

jest liczbą podziałów $m$ na co najwyżej $n$ części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów $m$ na części wielkości co najwyżej $n,$ utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

(a; q)_{\infty}^{- 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\prod_{j = 1}^{k} \frac{1}{1 - q^{j}}) a^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{a^{k}}{(q; q)_{k}} .

Jest też, że współczynnik $q^{m} a^{n}$ w

(- a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 + a q^{k})

jest liczbą podziałów $m$ na $n$ bądź $n - 1$ różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o $n - 1$ częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej $n$ części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na $n$ lub $n - 1$ różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o $n - 1$ częściach i podziałem na co najwyżej $n$ części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

(- a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 + a q^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (q^{(\binom{k}{2})} \prod_{j = 1}^{k} \frac{1}{1 - q^{j}}) a^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{q^{(\binom{k}{2})}}{(q; q)_{k}} a^{k},

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o $q$ -dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Konwencja wielu argumentów

Ponieważ tożsamości zawierające symbole $q$ -Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n} .

Związek z $q$ -nawiasem i $q$ -dwumianem

Zauważając, iż

\lim_{q \to 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = n,

można zdefiniować $q$ -analog n, znany także jako $q$ -nawias lub $q$ -liczbę n jako

[n]_{q} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} .

Za jego pomocą można zdefiniować $q$ -analog silni, $q$ -silnię, jako

\begin{matrix} [n]_{q}! & = [1]_{q} [2]_{q} \dots [n - 1]_{q} [n]_{q} \\ = \frac{1 - q}{1 - q} \frac{1 - q^{2}}{1 - q} \dots \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \\ = 1 (1 + q) \dots (1 + q + \dots + q^{n - 2}) (1 + q + \dots + q^{n - 1}) \\ = \frac{(q; q)_{n}}{(1 - q)^{n}} . \end{matrix}

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się, dążąc z $q$ do $1 .$ Może to być interpretowane jako liczba flag w $n$ -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $q$ -elementowym; biorąc granicę przy $q$ dążącym do $1,$ uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą $q$ -silnii można zdefiniować współczynniki $q$ -dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[n - k]_{q}! [k]_{q}!} .

Można sprawdzić, że

{[\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}]}_{q} = {[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} + q^{n - k + 1} {[\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}]}_{q} .

Definiuje się również $q$ -analog funkcji Gamma nazywany funkcją $q$ -Gamma:

Γ_{q} (x) = \frac{(1 - q)^{1 - x} (q; q)_{\infty}}{(q^{x}; q)_{\infty}} .

Zachodzą wzory

Γ_{q} (x + 1) = [x]_{q} Γ_{q} (x)

oraz

Γ_{q} (n + 1) = [n]_{q}! .

Funkcja $q$ -Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z $q$ dążącym do $1$ wewnątrz koła jednostkowego.

Zobacz też

$q$ -pochodna

Bibliografia

George Gasper i Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. Szablon:ISBN.
Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, rozdział 0.2.

Linki zewnętrzne

Symbol q-Pochhammera

Tożsamości

Interpretacja kombinatoryczna

Konwencja wielu argumentów

Związek z q-nawiasem i q-dwumianem

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj

Związek z $q$ -nawiasem i $q$ -dwumianem