Q-pochodna

Szablon:Małą literą Szablon:Spis treści $q$-pochodna – $q$-analog zwykłej pochodnej.

Definicja

$q$-pochodną funkcji $f(x)$ definiuje się wzorem

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}_{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.$

Często zapisuje się ją również jako ${\mathrm{D}}_{q}f(x).$ Inną nazwą $q$-pochodnej jest pochodna Jacksona.

Związek ze zwykłymi pochodnymi

$q$-różniczkowanie przypomina zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo $q$-pochodną jednomianu jest

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)}_q{z}^n=\frac{1-q^n}{1-q}{z}^{n-1}=[n{]}_q{z}^{n-1},$

gdzie $[n{]}_q$ jest $q$-nawiasem $n.$ Ponieważ $\underset{q\to 1}{\lim }[n{]}_q=n,$ to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

$n$-ta pochodna funkcji może być dana jako

$({\mathrm{D}}_q^{n}f)(0)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[n{]}_q!$

przy założeniu, że w punkcie $x=0$ istnieje $n$-ta pochodna funkcji $f.$ W powyższym wzorze $(q;q{)}_n$ oznacza symbol $q$-Pochhammera, a $[n{]}_q!$ to $q$-silnia.

Zobacz też

• całka Jacksona
• funkcja q-wykładnicza

Bibliografia

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. Szablon:ISBN
• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator (Uwaga na temat operatora q-pochodnej), (1999) ArXiv math/9908140