Subróżniczka

Funkcja wypukła (niebieski) i „podstyczne” w x₀ (czerwony).

Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Motywacja

Niech $f:I\to ℝ$ będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem $f(x)=|x|$ jest nieróżniczkowalna dla $x=0.$ Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego $x_0$ należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt $(x_0,f(x_0)),$ która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu $f.$ Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja

Subpochodną funkcji wypukłej $f:I\to ℝ$ w punkcie $x_0$ należącym do przedziału otwartego $I$ nazywa się taką liczbę rzeczywistą $c,$ że

$f(x)-f(x_0)⩾c(x-x_0)$

dla każdego $x$ należącego do $I.$ Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie $x_0$ jest niepustym przedziałem domkniętym $[a,b],$ gdzie $a$ oraz $b$ oznaczają granice jednostronne

$a=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

oraz

$b=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$

które zawsze istnieją i spełniają $a⩽b.$

Zbiór $[a,b]$ wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji $f$ w punkcie $x_0.$

Przykłady

Niech dana będzie funkcja wypukła $f(x)=|x|.$ Jej subróżniczką w początku układu jest przedział $[-1,1].$ subróżniczka w dowolnym punkcie $x_0<0$ jest równa zbiorowi jednoelementowemu $\{-1\},$ zaś w punktach $x_0>0$ jest nią zbiór $\{1\}.$

Własności

• Funkcja wypukła $f:I\to ℝ$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w $x_0.$
• Punkt $x_0$ jest minimum globalnym funkcji $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu $f$ w punkcie $(x_0,f(x_0)).$ Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient

Szablon:Zobacz też Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli $f:U\to ℝ$ jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej ${ℝ}^n,$ to wektor $𝐯$ tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie ${𝐱}_0$ należącym do $U,$ jeśli dla każdego $𝐱$ z $U$ zachodzi

$f(𝐱)-f({𝐱}_0)⩾𝐯\cdot (𝐱-{𝐱}_0),$

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w $x_0$ nazywa się subróżniczką w ${𝐱}_0$ i oznacza symbolem $\partial f({𝐱}_0).$ Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe $f:U\to ℝ$ określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej $V.$ Funkcjonał ${𝐯}^{*}$ należący do przestrzeni sprzężonej $V^{*}$ nazywa się subgradientem w ${𝐱}_0$ należącym do $U,$ jeżeli

$f(𝐱)-f({𝐱}_0)⩾{𝐯}^{*}(𝐱-{𝐱}_0).$

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie ${𝐱}_0$ nazywa się subróżniczką w $x_0$ i także oznacza symbolem $\partial f({𝐱}_0).$ Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli $f$ jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też

• słaba pochodna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę