Różnica zbiorów

Błąd przy generowaniu miniatury:

Różnica zbiorów $B$ i $A$ oznaczona kolorem fioletowym.

Różnica zbiorów $A$ i $B$ – podzbiór zbioru $A$ złożony z tych elementów, które nie należą do $B,$ oznaczany $A\setminus B$ – ukośnikiem wstecznymSzablon:OdnSzablon:Odn, niekiedy także minusem: $A-B$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn. FormalnieSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn:

$x\in (A\setminus B)\iff (x\in A)\wedge (x\notin B),$

co jest równoważne

$A\setminus B=\{x\in \mathrm{\Omega }:x\in A\wedge x\notin B\}$Szablon:Odn$=\{x\in A:x\notin B\}$Szablon:Odn,

gdzie $\mathrm{\Omega }$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzeniąSzablon:OdnSzablon:Odn lub uniwersumSzablon:Odn.

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru.

Przykłady

• Niech $\mathbb{Q}$ będzie zbiorem liczb wymiernych, a $ℝ$ niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ jest zbiorem liczb niewymiernychSzablon:Odn $𝕀\mathbb{Q}:$

$ℝ\setminus \mathbb{Q}=𝕀\mathbb{Q}.$

• Jeżeli $A=\{a,b,c\},$ a $B=\{b,c,d\},$ to $A\setminus B=\{a\}.$

Własności

Ogólne

Różnica zbiorów:

• nie jest przemienna – w ogólności $A\mathrm{\setminus }B\ne B\mathrm{\setminus }A;$
• nie jest łączna – w ogólności $(A\mathrm{\setminus }B)\mathrm{\setminus }C\ne A\mathrm{\setminus }(B\mathrm{\setminus }C);$ przykładowo $(A\mathrm{\setminus }A)\mathrm{\setminus }A=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\setminus }A=\mathrm{\varnothing },A\mathrm{\setminus }(A\mathrm{\setminus }A)=A\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }=A;$
• ma jeden idempotent: $A\mathrm{\setminus }A=A\Rightarrow \mathrm{\varnothing }=A;$
• ma prawostronny element neutralny: $A\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }=A;$
• ma lewostronny element absorbujący: $\mathrm{\varnothing }\mathrm{\setminus }A=\mathrm{\varnothing }.$

Związki z inkluzją

$A$ jest podzbiorem $B$ (czyli zbiór $A$ zawiera się w $B$) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica $A\mathrm{\setminus }B$ jest zbiorem pustym:

$A\subseteq B\iff A\setminus B=\varnothing .$

Z inkluzji dwóch par zbiorów można wywnioskować inkluzję pewnych różnicSzablon:OdnSzablon:Odn:

$A\subseteq B\wedge C\subseteq D\Rightarrow A\mathrm{\setminus }D\subseteq B\mathrm{\setminus }C.$

Definicja przekroju

Plik:Venn-AA 2up.png

Diagram Venna przedstawiający prawostronną rozdzielność różnicy zbiorów względem ich sumy: $(S\cup P)\mathrm{\setminus }M=$$(S\mathrm{\setminus }M)\cup (P\mathrm{\setminus }M).$

Za pomocą różnicy można zdefiniować także przekrój (część wspólną) zbiorów:

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$Szablon:Odn.

• Dowód:

$x\in A\setminus (A\setminus B)\iff (x\in A)\wedge \mathrm{\neg }[x\in (A\setminus B)]\iff (x\in A)\wedge \mathrm{\neg }[(x\in A)\wedge \mathrm{\neg }(x\in B)]\iff$

$(x\in A)\wedge [\mathrm{\neg }(x\in A)\vee (x\in B)]\iff [(x\in A)\wedge \mathrm{\neg }(x\in A)]\vee [(x\in A)\wedge (x\in B)]\iff$

$(x\in A)\wedge (x\in B)\iff x\in A\cap B◼$

Prawa rozdzielności

Różnica zbiorów jest prawostronnie rozdzielna względem sumy zbiorówSzablon:Odn:

$(A\cup B)\mathrm{\setminus }C=(A\mathrm{\setminus }C)\cup (B\mathrm{\setminus }C).$

Iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem różnicy zbiorów:

$A\times (B\mathrm{\setminus }C)=(A\times B)\mathrm{\setminus }(A\times C).$

Prawa De Morgana i dualności

Błąd przy generowaniu miniatury:

Ilustracja praw De Morgana dla różnicy zbiorów.

Różnica zbiorów nie jest rozdzielna lewostronnie względem sumy ani przekroju zbiorów, ale zachodzą podobne równości, zaliczane do praw De MorganaSzablon:OdnSzablon:Odn:

$A\mathrm{\setminus }(B\cup C)=(A\mathrm{\setminus }B)\cap (A\mathrm{\setminus }C);$

$A\mathrm{\setminus }(B\cap C)=(A\mathrm{\setminus }B)\cup (A\mathrm{\setminus }C).$

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualnościSzablon:Odn, która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

• Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:

$X\setminus \bigcup _i{A}_i=\bigcap _i(X\setminus A_i).$

• Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

$X\setminus \bigcap _i{A}_i=\bigcup _i(X\setminus A_i).$

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru $X$ można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Szymon Charzyński, Różnica zbiorów, kanał Khan Academy Po Polsku na YouTube, 24 września 2013 [dostęp 2023-09-07].