Rozkład Dirichleta

Szablon:Rozkład prawdopodobieństwa infobox Rozkład Dirichleta – rodzina wielowymiarowych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa, sparametryzowana z wykorzystaniem K-elementowego wektora $\mathit{\alpha }$ dodatnich liczb rzeczywistych. Stanowi uogólnienie rozkładu beta dla zmiennej wielowymiarowej (wektora losowego).

Rozkład Dirichleta jest często wykorzystywany w statystyce bayesowskiej jako rozkład aprioryczny i faktycznie rozkład Dirichleta jest rozkładem sprzężonym rozkładu wielopunktowego i rozkładu wielomianowego. W efekcie funkcja rozkładu zwraca przekonanie, że prawdopodobieństwo $K$ możliwych zdarzeń losowych wynosi $x_i,$ biorąc pod uwagę, że każde zdarzenie zostało zaobserwowane ${\alpha }_i-1$ razy.

Wielowymiarowym uogólnieniem rozkładu Dirichleta jest proces Dirichleta.

Definicja formalna

Wykres ilustruje jak zmienia się logarytm funkcji rozkładu kiedy $K=3$ i zmieniany jest wektor $\alpha$ od $\alpha =$(0,3, 0,3, 0,3) do (2,0, 2,0, 2,0), zachowując wszystkie ${\alpha }_i$ równe sobie nawzajem.

Rozkład Dirichleta rzędu $K⩾2$ z parametrami ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K>0$ ma funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w mierze Lebesgue’a dla przestrzeni euklidesowej ${\mathrm{R}}^{K-1}$ określoną zależnością:

$f(x_1,\dots ,x_{K-1};{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K)=\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha )}\prod _{i=1}^K{x}_i^{{\alpha }_i-1},$

na otwartym zbiorze $(K-1)$-wymiarowego sympleksu określonego jako:

$\begin{array}{cc}& x_1,\dots ,x_{K-1}>0\\ & x_1+\dots +x_{K-1}<1\\ & x_K=1-x_1-\dots -x_{K-1}\end{array}$

oraz zero poza.

Stałą normalizującą jest wielomianowa funkcja B, którą można wyrazić w zależności od funkcji gamma:

$\mathrm{B}(\mathit{\alpha })=\frac{\prod _{i=1}^K\mathrm{\Gamma }({\alpha }_i)}{\mathrm{\Gamma }\left(\sum _{i=1}^K{\alpha }_i\right)},\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_K).$

Nośnik

Nośnikiem rozkładu Dirichleta jest zbiór $K$-wymiarowych wektorów $𝒙$ określonych liczbami rzeczywistymi w zakresie (0,1), tak więc $\Vert 𝒙{\Vert }_1=1,$ co znaczy, że suma wszystkich składowych jest 1. Mogą być one przedstawiane jako prawdopodobieństwa $K$-wymiarowego zdarzenia. Należy zauważyć, iż w praktyce zbiór punktów w nośnika dla $K$-wymiarowego rozkładu Dirichleta jest zamkniętym zbiorem $(K-1)$-sympleksów, znajdujących się w przestrzeni $K$-wymiarowej. Przykładowo dla $K=3$ jest to trójkąt równoboczny zawarty w trójwymiarowej przestrzeni z wierzchołkami (1;0;0), (0;1;0) oraz (0;0;1), „dotykający” każdej z osi w odległości 1 od początku układu współrzędnych.

Zobacz też

• rozkład dwumianowy
• rozkład normalny

Linki zewnętrzne

• „Statystyka w ujęciu Bayesowskim” na UPGOW
• Niemiro, W. „Symulacje stochastyczne i metody Monte Carlo”, skrypt dla studentów MIMUW