Funkcja rozkładu

Szablon:Inne znaczenia Funkcja rozkładu – w fizyce jest to wielkość równa liczbie cząstek (gazu lub cieczy) mających w danej chwili określone z zadaną dokładnością położenie i prędkość. Funkcja rozkładu jest podstawowym pojęciem kinetycznej teorii gazów, fizyki statystycznej i mechaniki płynów.

Definicja

W kinetycznej teorii gazów funkcja rozkładu $f$ jest funkcją siedmiu parametrów makroskopowych: trzech składowych położenia $(x,y,z),$ trzech składowych prędkości $(v_x,v_y,v_z)$ i czasu $t.$ Definiuje się ją tak, by wyrażenie

$f(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t)d^{3}r{d}^{3}v$

równe było liczbie cząstek mających w chwili $t$ prędkość w elemencie objętości $d^{3}v$ wokół prędkości $(v_x,v_y,v_z)$ i położenie w elemencie objętości $d^{3}r$ wokół punktu $(x,y,z).$

W równaniu powyższym wielkości $d^{3}v$ i $d^{3}r$ nie są wielkościami infinitezymalnymi w sensie matematycznym. Typowe w matematyce przejście graniczne

$d^{3}v\to 0,d^{3}r\to 0$

jest na gruncie fizyki klasycznej jałowe, gdyż prowadzi do utraty ciągłości i gładkości $f$ (patrz: teoria dystrybucji), a na gruncie fizyki kwantowej – wręcz niewykonalne (patrz: zasada nieoznaczoności). Dlatego $d^{3}v$ i $d^{3}r$ należy rozumieć jako elementy objętości na tyle duże, by zawierały bardzo dużą liczbę cząstek (np. $10^9$); jednocześnie na tyle małe, by były dużo mniejsze od charakterystycznych długości dla zjawisk makroskopowych opisywanych funkcją rozkładu (np. $d^{3}r\approx 10^{-10}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$). Dzięki takiej definicji funkcję rozkładu można traktować jako ciągłą i różniczkowalną funkcję swoich siedmiu parametrów.

Własności

Funkcja rozkładu spełnia warunki

$n(x,y,z,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t)d{v}_{x}d{v}_{y}d{v}_z$

$N(t)=\int \int \underset{V}{\int }n(x,y,z,t)dxdydz,$

gdzie:

$n(x,y,z,t)$ – koncentracja cząstek w chwili $t$ w punkcie $(x,y,z),$

$N(t)$ – liczba cząstek w chwili $t$ w zadanej objętości $V,$

$V$ – pewna zadana objętość.

Przestrzeń μ

Przestrzeń rozpięta przez siedem argumentów funkcji rozkładu, czyli trzech składowych położenia $(x,y,z),$ trzech składowych prędkości $(v_x,v_y,v_z)$ i czasu $t$ zwana jest przestrzenią μ.

Zobacz też

• równanie Boltzmanna

Bibliografia

• Kerson Huang, Mechanika statystyczna, wydanie II, PWN, Warszawa 1987.