Relacja odwrotna

Pojęcia męża i żony to w niektórych krajach relacje odwrotne – można być mężem tylko dla żony i odwrotnie.

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej oraz funkcja kwadratu z taką samą dziedziną to relacje odwrotneSzablon:Odn.

Relacja odwrotna, konwers relacjiSzablon:Odn – przekształcenie relacji, zwłaszcza dwuargumentowej (binarnej), polegające na zamianie kolejności jej argumentów. Symbolicznie: niech $R\subset X\times Y.$ Wtedy relacją odwrotną do $R$ nazywa sięSzablon:Odn:

$R^{-1}:=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in R\}.$

Innymi słowy między dwoma elementami zachodzi relacja odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy relacja wyjściowa zachodzi dla nich w odwrotnej kolejnościSzablon:Odn: $y{R}^{-1}x\iff xRy.$ Inne oznaczenie to $\breve{R}$Szablon:Odn.

Odwracanie relacji jest inwolucją: $(R^{-1}{)}^{-1}=R.$ Przykłady relacji wzajemnie odwrotnych to przed i po, nad i pod, przodek i potomek, rodzic i dziecko, przełożony i podwładny, następca i poprzednik, język ojczysty i native speaker, a w matematyce – podzbiór i nadzbiór oraz dzielnik i wielokrotność. Relacja symetryczna jest nadzbiorem swojej odwrotności.

Szczególnym przypadkiem odwracania relacji jest odwracanie funkcjiSzablon:Odn.

Własności algebraiczne

Dla zbioru relacji dwuargumentowych z działaniem sumy zbiorów $(ℬ(X),\cup )$ odwracanie jest endomorfizmem:

$(R\cup S{)}^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}.$

Podobne własności zachodzą dla przekroju i różnicy zbiorówSzablon:Odn:

$(R\cap S{)}^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1},$

$(R\setminus S{)}^{-1}=R^{-1}\setminus S^{-1}.$

Konwers dopełnienia relacji jest dopełnieniem jej konwersuSzablon:Odn:

$(R^{\prime }{)}^{-1}=(R^{-1}{)}^{\prime }.$

Dla złożenia relacji odwracanie jest już antyhomomorfizmemSzablon:Odn:

$(S\circ R{)}^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}.$

Relacja odwrotna nie jest jednak elementem odwrotnym w półgrupie relacji binarnych; w ogólności $R^{-1}\circ R\ne \text{id}.$ Inkluzja zachodzi tylko dla funkcji częściowych (relacji funkcyjnych), a równość – dla bijekcji.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę