Równania Kirchhoffa

Równania Kirchhoffa to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennieSzablon:R.

Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych: nieruchomym kartezjańskim $0xyz$ o wersorach osi $𝐢,𝐣,𝐤$ i ruchomym układem Freneta $0{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3$ o wersorach osi ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$ wyznaczających kierunki prostych: stycznej, normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.

Oś pręta jest określona parametrycznie Szablon:Wzór

Rozważać będziemy element pręta o długości $ds,$ wycięty z niego dwoma przecięciami $S,dS$ w punktach $s,ds.$

W wyniku tych przecięć powstają cztery przekroje poprzeczne

$S^{(+)},S^{(-)},d{S}^{(+)},d{S}^{(-)}.$

Znaki $(+),(-)$ określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi $0x$ określonego wersorem $𝐢.$

Wersory Freneta i ich pochodne można zapisać następującoSzablon:R Szablon:Wzór Szablon:Wzór

gdzie:

$\kappa$ – jest krzywizną osi łuku,

$\tau$ – jego torsją,

a różniczkowanie odbywa się po zmiennej $s.$

Siły przekrojowe

Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta $S^{(-)}$ w punkcie jego osi o współrzędnej $s,$ daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju Szablon:Wzór

gdzie ${𝐏}_o$ i ${𝐌}_o$ są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego $s=0,$ a Szablon:Wzór

są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.

Wektory ${𝐫}_o=𝐫(s=0),{𝐫}_{\sigma }=r(s=\sigma ),{𝐫}_s=r(s)$ są wektorami wodzącymi punktów $0,L,S$ na osi łuku.

Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.

W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju $d{S}^{(-)}$ otrzymujemy Szablon:Wzór

stąd zaś Szablon:Wzór

Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju $S^{(-)}$ o współrzędnej $s$ i normalnej zewnętrznej $-{𝐞}_1.$ W tym celu napiszemy Szablon:Wzór

gdzie:

• $N$ – siła podłużna w kierunku osi $0{\xi }_1,$
• $Q$ – siła poprzeczna w kierunku osi $0{\xi }_2,$
• $T$ – siła poprzeczna w kierunku osi $0{\xi }_3,$
• $M_s$ – moment skręcający o wektorze w kierunku osi $0{\xi }_1,$
• $M_n$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi $0{\xi }_2,$
• $M$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi $0{\xi }_3.$

Korzystając z Szablon:LinkWzór, możemy na podstawie Szablon:LinkWzór napisać Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Na podstawie Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór mamy Szablon:Wzór Szablon:Wzór

Porównując współrzędne wektorów Szablon:LinkWzór–Szablon:LinkWzór i uwzględniając Szablon:LinkWzór, otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaciSzablon:R Szablon:Wzór

Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy $\tau \equiv 0$) ten układ równań przybiera postaćSzablon:R Szablon:Wzór

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to $q_3=m_1=m_2=0$ i gdy $T=M_s=M_n=0,$ wówczas równania Szablon:LinkWzór przyjmują postać

$N^{\text{'}}-\kappa Q=q_1,Q^{\text{'}}+\kappa N=q_2,M^{\text{'}}=m_3-Q.$

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia $q_3,m_1,m_2$ $(q_1=q_2=m_3=0)$ i gdy $N=Q=M=0,$ wtedy mamy zamiast Szablon:LinkWzór

$T^{\text{'}}=q_3,M_s^{\text{'}}-\kappa M_n=m_1,M_n^{\text{'}}+\kappa M_s=m_2+T.$

Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy $\kappa \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ ) równania Szablon:LinkWzór dają się rozprzęgnąć do postaci Szablon:Wzór

W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy $\kappa \equiv 0$) otrzymujemy Szablon:Wzór

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami Szablon:LinkWzór. W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych $s$ i $s+ds.$ Konsekwencją tych przecięć jest powstanie czterech przekrojów poprzecznych:

$S^{(+)},S^{(-)},d{S}^{(+)},d{S}^{(-)}.$

Znaki $(+),(-)$ określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora ${𝐞}_1.$

Ze środkiem ciężkości $s$ przekroju $S^{(-)}$ zwiążemy teraz układ współrzędnych $0{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3.$ Siły przekrojowe $N,Q,T,M_s,M_n,M$ w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu $s$ wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju $S^{(-)}.$

Wykorzystując oznaczenia Szablon:LinkWzór i Szablon:LinkWzór, możemy dla przekroju $S^{(-)}$ napisać

${𝐅}_s=[{𝐏}_s,{𝐌}_s],$

a dla przekroju $d{S}^{(-)}$

${𝐅}_s+d{𝐅}_s=[{𝐏}_s+d{𝐏}_s,{𝐌}_s+d{𝐌}_s].$

Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element $(s,s+ds)$ wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez

$𝐟(s)=𝐪(s)+𝐦(s),$

to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast Szablon:LinkWzór

$-d{𝐅}_s+𝐟(s)ds=0\to \frac{d}{ds}𝐅(s)=𝐟(s).$

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej $EI,$ poddanemu tylko obciążeniu $q_2,$ mamy zgodnie z teorią Eulera-Bernoulliego

$EI{w}^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=M(s).$

Na podstawie wzorów Szablon:LinkWzór otrzymuje się

$EI{w}^{{\text{'}}^{″}}(s)=-Q(s),EI{w}^{{\text{'}}^{‴}}=-q_2(s).$

Podsumowanie

Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego $s$ wyrażającego długość rozważanej krzywej. Związek $s(t)$ tego parametru ze zmienną $t$ stosowaną w zapisie równań o postaci Szablon:Wzór

daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu

$x=r\cos t=r\cos \frac{s}{r},y=r\sin t=r\sin \frac{s}{r},𝐬\mathbf{(}𝐭\mathbf{)}\mathbf{=}𝐫𝐭.$

W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką Szablon:Wzór

której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach Szablon:LinkWzór są funkcjami zmiennej $s$ (a nie $t$!), co wymaga podstawienia zależności $t=t(s)$ we wzorach Szablon:LinkWzór. Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu $t(s)=\frac{s}{r}$ lub dla spirali kołowej $t(s)=\frac{s}{r}\cos \phi .$

Nawet jeżeli całka we wzorze Szablon:LinkWzór daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej $t(s)$ może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci płaskiej paraboli

$x(t)=t,y(t)=t^2,z(t)=0,$

dla którejSzablon:R Szablon:Wzór

$s(t)=2\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sqrt{\frac{1}{4}+{\tau }^2}d\tau =t\sqrt{\frac{1}{4}+t^2}+\frac{1}{4}\ln (t+\sqrt{\frac{1}{4}+t^2})-\frac{1}{4}\ln (\frac{1}{2}).$

Jak wynika ze wzoru Szablon:LinkWzór funkcja $s(t)$ jest silnie rosnąca i dlatego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych $s$ i $t.$ Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności $t(s)$ nie jest możliwe.

W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami Szablon:LinkWzór, obliczanie całek

$\underset{0}{\overset{s}{\int }}{x}_{\sigma }d\sigma =\underset{0}{\overset{s}{\int }}x[t(\sigma )]d\sigma ,\underset{0}{\overset{s}{\int }}{y}_{\sigma }d\sigma =\underset{0}{\overset{s}{\int }}y[t(\sigma )]d\sigma ,\underset{0}{\overset{s}{\int }}{z}_{\sigma }d\sigma =\underset{0}{\overset{s}{\int }}z[t(\sigma )]d\sigma ,$

występujących we wzorach Szablon:LinkWzór wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania $(0,s)$ na $n$ podprzedziałów i obliczenia rzędnych $x_i,y_i,z_i$ funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych $s_i.$ I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga $n+1$ krotnego, numerycznego rozwiązywania równań $s(t)=s_i$ w celu wyznaczenia rzędnych $t_i(s_i).$

Przykłady

1. Spirala kołowa prawoskrętna wokoło osi $0z.$
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie

$x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t,z(t)=\frac{hr}{2\pi }t,$

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych $0xyz.$ Wersory tych osi oznaczymy przez $𝐢,𝐣,𝐤.$

Oś pręta jest linią śrubową, czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu $r.$ Skok spirali wynosi $hr.$

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej $s$ liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie $s=0$ o współrzędnych $(r,0,0).$

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej $s=r\sqrt{4{\pi }^2+h^2}(t=2\pi )$ i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej $s=0.$

Pręt jest obciążony siłą skupioną $𝐏=-P𝐤$ w przekroju $s=0$ i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym $𝐪(s)=-q𝐤$ liczonym na jednostkę długości osi pręta.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu $s$ wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu współrzędnych Freneta $0{𝐞}_1{𝐞}_2{𝐞}_3.$ Wersory tego układu mają w układzie $0xyz$ następujące współrzędne

${𝐞}_1=(-\cos \phi \sin t,\cos \phi \cos t,\sin \phi ),$

${𝐞}_2=(-\cos t,-\sin t,0),$

${𝐞}_3=(\sin \phi \sin t,-\sin \phi \cos t,\cos \phi ),$

gdzie $\phi$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny $0xy.$

Wartości sił w przekroju $S^{(-)}$ o współrzędnej $s$ oblicza się ze wzorów

$P_x=0,P_y=0,P_z=-P-\underset{0}{\overset{s}{\int }}qd\sigma =-(P+qs),$

$P_1=N=P_z𝐤{𝐞}_1=-(P+qs)\sin \phi ,$

$P_2=Q=P_z𝐤{𝐞}_2=0,$

$P_3=T=P_z𝐤{𝐞}_3=-(P+qs)\cos \phi .$

$M_x=P{y}_s+\underset{0}{\overset{s}{\int }}q{y}_{\sigma }d\sigma =Pr\sin \alpha s+\frac{qr}{\alpha }(1-\cos \alpha s),$

$\alpha =\frac{\cos \phi }{r},\mathit{\alpha }𝐬\mathbf{=}𝐭,x_s=r\cos \alpha s,y_s=r\sin \alpha s,\sigma \in [0,s],$

$M_y=P(r-x_s)+\underset{0}{\overset{s}{\int }}q(x_{\sigma }-x_s)d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+$

$+q\underset{0}{\overset{s}{\int }}{x}_{\sigma }d\sigma -q{x}_s\underset{0}{\overset{s}{\int }}d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+\frac{qr}{\alpha }\sin \alpha s-qrs\cos \alpha s,$

$M_z=0,$

$\begin{array}{cc}{𝐌}_s& =M_x𝐢+M_y𝐣+M_z𝐤\\ & =M_1{𝐞}_1+M_2{𝐞}_2+M_3{𝐞}_3,\end{array}$

$\begin{array}{cc}{M}_1& =M_s=M_x𝐢{𝐞}_1+M_y𝐣{𝐞}_1+M_z𝐤{𝐞}_1\\ & =(-\cos \phi \sin \alpha s)M_x+(\cos \phi \cos \alpha s)M_y,\end{array}$

$\begin{array}{cc}{M}_2& =M_n=M_x𝐢{𝐞}_2+M_y𝐣{𝐞}_2+M_z𝐤{𝐞}_2\\ & =-\cos \alpha s{M}_x-\sin \alpha s{M}_y,\end{array}$

$\begin{array}{cc}{M}_3& =M=M_x𝐢{𝐞}_3+M_y𝐣{𝐞}_3+M_z𝐤{𝐞}_3\\ & =(\sin \phi \sin \alpha s)M_x+(-\sin \phi \cos \alpha s)M_y.\end{array}$

2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi $0y.$

$x(t)=r\cos t,y(t)=\frac{hr}{2\pi }t,z(t)=r\sin t,$

$\dot{x}(t)=-r\sin t,\dot{y}(t)=\frac{hr}{2\pi },\dot{z}(t)=r\cos t,$

$ds=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}=r\kappa dt,$

$\kappa =\sqrt{1+\frac{h^2}{4{\pi }^2}},\frac{1}{\kappa }=\cos \phi ,\frac{h}{2\pi \kappa }=\sin \phi ,$

gdzie $\phi$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny $0zx,$

$x^{\text{'}}(s)=-\cos \phi \sin t,y^{\text{'}}(s)=\sin \phi ,\cos \phi \cos t,$

${𝐞}_1=(-\cos \phi \sin t,\sin \phi ,\cos \phi \cos t),$

$x^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{\rho }\cos t,y^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=0,z^{{\text{'}}^{\prime }}(s)=-\frac{1}{\rho }\sin t,\rho =\frac{r}{{\cos }^2\phi },$

${𝐞}_2=(-\cos t,0,-\sin t),$

${𝐞}_3={𝐞}_1\times {𝐞}_2=(-\sin \phi \sin t,-\cos \phi ,\sin \phi \cos t).$

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny $𝐪=-q𝐤.$ Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:

${𝐏}_s=P_x𝐢+P_y𝐣+P_z𝐤=-\underset{0}{\overset{s}{\int }}q𝐤d\sigma =-qs𝐤,$

$\begin{array}{cc}{𝐌}_s& =-\underset{0}{\overset{s}{\int }}q𝐤\times ({𝐫}_{\sigma }-{𝐫}_s)d\sigma =-q\underset{0}{\overset{s}{\int }}\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ 0& 0& 1\\ x_{\sigma }-x_s& y_{\sigma }-y_s& z_{\sigma }-z_s\end{array}\right|d\sigma \\ & =-q\underset{0}{\overset{s}{\int }}[-(y_{\sigma }-y_s)𝐢+(x_{\sigma }-x_s)𝐣]d\sigma \\ & =-q[(-\underset{0}{\overset{s}{\int }}{y}_{\sigma }d\sigma +\underset{0}{\overset{s}{\int }}{y}_{s}d\sigma )𝐢+(\underset{0}{\overset{s}{\int }}{x}_{\sigma }d\sigma -\underset{0}{\overset{s}{\int }}{x}_{s}d\sigma )𝐣]\\ & =-qrs[\frac{h\alpha s}{4\pi }𝐢+(\frac{1}{\alpha s}\sin \alpha s-\cos \alpha s)𝐣]=M_x𝐢+M_y𝐣+0𝐤,\end{array}$

gdzie:

$\alpha =\frac{\cos \phi }{r},\mathit{\alpha }𝐬\mathbf{=}𝐭,x_s=x(s)=r\cos \alpha s,y_s=y(s)=\frac{hr}{2\pi }\alpha s,$

$M_i={𝐌}_s{𝐞}_i=M_x𝐢{𝐞}_i+M_y𝐣{𝐞}_i,i=1,2,3,$

$M_1=M_x(-\cos \phi \sin t)+M_y(\sin \phi ),$

$M_2=M_x(-\cos t),$

$M_3=M_x(-\sin \phi \sin t)+M_y(-\cos \phi ).$

3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej $𝐛=(0,-\sin \alpha ,\cos \alpha ).$

Oś pręta jest opisana parametrycznie

$x(t)=r\cos t,y(t)=r\cos \alpha \sin t,z(t)=r\sin \alpha \sin t$

względem układu współrzędnych $0xyz.$

Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne

${𝐞}_1=(-\sin t,\cos \alpha \cos t,\sin \alpha \cos t),$

${𝐞}_2=(-\cos t,-\cos \alpha \sin t,-\sin \alpha \sin t),$

${𝐞}_3={𝐞}_1\times {𝐞}_2=(0,-\sin \alpha ,\cos \alpha ).$

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej $t=0$ i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy $t=2\pi .$ Przekrój początkowy $S^{(-)}$ jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym $𝐌=M𝐣.$

Siły przekrojowe mają wartości

$P_1=P_2=P_3=0,$

$M_x=0,M_y=M,M_z=0,$

${𝐌}_s=M_x𝐢+M_y𝐣+M_z𝐤=M_1{𝐞}_1+M_2{𝐞}_2+M_3{𝐞}_3,$

$M_1=M_x𝐢{𝐞}_1+M_y𝐣{𝐞}_1+M_z𝐤{𝐞}_1=M\cos \alpha \cos t,$

$M_2=M_x𝐢{𝐞}_2+M_y𝐣{𝐞}_2+M_z𝐤{𝐞}_2=-M\cos \alpha \sin t,$

$M_3=M_x𝐢{𝐞}_3+M_y𝐣{𝐞}_3+M_z𝐤{𝐞}_3=-M\sin \alpha .$