Zginanie

Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowejSzablon:R. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje^[1].

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych^[2].

Układ współrzędnych

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych $O x y z,$ związanym z przekrojem poprzecznym $S^{(-)}$ pręta, którego normalna zewnętrzna jest skierowana zgodnie z ujemnym zwrotem osi $O x .$ Układ $O x y z$ będzie utożsamiany z układem osi głównych, centralnych. Oś $O x$ pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś $O y$ – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś $O z$ – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Siły przekrojowe w przekroju $S^{(-)}$ są dodatnie wtedy, gdy mają zwroty zgodne z układem osi $O x y z .$ Wartości tych sił wynikają z redukcji lewostronnych obciążeń zewnętrznych do środka ciężkości przekroju $S^{(-)} .$

Rodzaje zginania

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju prętaSzablon:R. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe $M_{y}$ i $M_{z}$ (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności $O y, O z$ ), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. $M_{z} = 0,$ zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie $O z x .$ Naprężenia normalne $σ_{n},$ w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem

σ_{n} = - \frac{M_{z}}{I_{z}} y + \frac{M_{y}}{I_{y}} z,

w którym przez

I_{y}, I_{z}

oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.

Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych $Q_{y}, Q_{z},$ spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi prętaSzablon:R. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających $M_{y}$ i $M_{z}$ są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających $M_{y}$ i $M_{z}$ z działaniem siły podłużnej $N .$ Naprężenie normalne określone jest wzorem Szablon:R

σ_{n} = \frac{N}{A} - \frac{M_{z}}{I_{z}} y + \frac{M_{y}}{I_{y}} z .

Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla

z_{m a x}

i wynosi:

σ_{m a x} = \frac{M_{y}}{I_{y}} z_{m a x} = \frac{M_{y}}{W_{y}}, W_{y} = \frac{I_{y}}{z_{m a x}},

gdzie:

W_{y}

– wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie $σ_{m a x}$ musi spełniać warunek:

σ_{m a x} < k_{g},

gdzie:

k_{g}

– dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-Bernoulliego

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi $O y,$ otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia $ϵ_{x}$ wzdłuż wysokości przekroju pręta

ϵ_{x} = \frac{z}{ρ} .

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

σ_{x} = E \frac{z}{ρ} .

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

M_{y} = \int_{A} z σ_{x} d A = E \int_{A} \frac{z^{2}}{ρ} d A = \frac{E}{ρ} \int_{A} z^{2} d A = \frac{E}{ρ} I_{y},

gdzie $I_{y}$ jest momentem bezwładności względem osi $O y$ pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

σ_{x} (x, z) = \frac{M_{y} (x)}{I_{y}} z .

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia $w (x) :$

κ = \frac{1}{ρ} \approx w^{″} (x),

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

E I_{y} w^{″} (x) = - M_{y} (x) .

Znak minus w tym równaniu wynika stąd, że dodatni moment $M_{y} (x)$ działający w przekroju $S$ powoduje wygięcie pręta skierowane wypukłością ku górze.

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że $E I_{y} = c o n s t,$ otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

E I_{y} w^{I V} (x) = q_{z} (x) .

Przykład 1

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy $M_{z} = 0 .$

Analizując równowagę elementu o długości $d x$ wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym $q_{z} (x),$ dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie $O z x$ do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

\frac{d Q_{z} (x)}{d x} = - q_{z} (x), \frac{d M_{y} (x)}{d x} = Q_{z} (x),

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

\frac{d^{2} M_{y} (x)}{d x^{2}} = - q_{z} (x) .

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi $O y$ tzn. w płaszczyźnie $O z x,$ ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej $w (x)$ o krzywiźnie $κ (x) .$ Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami $A, B$ element o długości $d x .$ Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje $A, B$ obracają się względem siebie o kąt $d φ$ i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie $O$ odległym o $ρ$ od osi $O x .$ Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek $κ = \frac{1}{ρ} .$ Wydłużenie „włókna” położonego w odległości $z$ od osi obojętnej przekroju wynosi $Δ d x .$

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

σ = ϵ E, σ = \frac{M_{y} z}{I_{y}}

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego $ϵ$ wzór

ϵ = \frac{Δ d x}{d x} = \frac{z}{ρ} = \frac{σ}{E} = \frac{M_{y} z}{E I_{y}} .

Uwzględniając fakt, że $κ = \frac{1}{ρ} \approx w^{″}$ otrzymujemy przy założeniu, że $E I_{y} (x) = c o n s t,$ następujące związki: $E I_{y} w^{″} (x) = - M_{y} (x), E I_{y} w^{‴} (x) = - Q_{z} (x), \underline{E I_{y} w^{⁗} (x) = q (x)} .$

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału $[x_{0}, x]$ osi $O x$ pręta pryzmatycznego, na długości którego $q (x) = q = c o n s t,$ można napisać

\begin{matrix} w (x) & = w_{0} + \frac{1}{2} M_{0} (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{6} Q_{0} (x - x_{0})^{3} + \frac{1}{24} q_{z} (x - x_{0})^{4}, \\ w^{'} (x) & = w_{0}^{'} + M_{0} (x - x_{0}) + \frac{1}{2} Q_{0} (x - x 0)^{2} + \frac{1}{6} q_{z} (x - x_{0})^{3}, \\ E I_{y} w^{″} (x) & = M_{0} + Q_{0} (x - x_{0}) + \frac{1}{2} q_{z} (x - x_{0})^{2}, \\ E I_{y} w^{‴} (x) & = Q_{0} + q_{z} (x - x_{0}), \\ E I_{y} w^{⁗} (x) & = q_{z}, \end{matrix}

gdzie przez $w_{0}, w_{0}^{'}, Q_{0}, M_{0}$ oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie $x_{0}$ na osi pręta.

Przykład 2

Dana jest pryzmatyczna $(E I_{y} (x) = c o n s t)$ belka wspornikowa o długości $L$ utwierdzona na prawym końcu $(x = L)$ i zginana w płaszczyźnie $O x z$ obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

M_{y} (0) = Q_{z} (0) = w (L) = w^{'} (L) = 0,

gdzie przez $w (x)$ oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

E I_{y} w^{'^{‴}} = q, E I_{y} w^{'^{″}} = q x, E I_{y} w^{'^{'}} = \frac{1}{2} q x^{2},

E I_{y} w^{'} = \frac{1}{6} q (x^{3} - L^{3}), E I_{y} w = \frac{q}{24} (x^{4} - 4 L^{3} x + 3 L^{4})

i dalej

w (0) = \frac{1}{8} \frac{q L^{4}}{E I_{y}}, w^{'} (0) = - \frac{1}{6} \frac{q L^{3}}{E I_{y}}, M_{y} (L) = \frac{1}{2} q L^{2}, Q_{z} (L) = q L .

Zobacz też

statyczna próba zginania

Przypisy

Szablon:Przypisy

Linki zewnętrzne

Szablon:Kontrola autorytatywna

↑ S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.
↑ S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.

[Piech-1] S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN.

[Timo-2] S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.

[1]

[2]

Zginanie

Spis treści

Układ współrzędnych

Rodzaje zginania

Teoria Eulera-Bernoulliego

Przykład 1

Przykład 2

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Zginanie

Układ współrzędnych

Rodzaje zginania

Teoria Eulera-Bernoulliego

Przykład 1

Przykład 2

Zobacz też

Przypisy

Linki zewnętrzne

Menu nawigacyjne

Szukaj