Siły przekrojowe

Siła przekrojowa – jedno z podstawowych pojęć z zakresu wytrzymałości materiałów stosowane również w mechanice ośrodków ciągłych. W obu tych dyscyplinach chodzi o znajdowanie rzeczywistego rozkładu naprężeń w ciałach fizycznych poddanych określonym obciążeniom zewnętrznym. Ogólnie stosowana metoda badawcza polega na dokonywaniu wirtualnych przecięć analizowanego ośrodka i uzewnętrznianiu działania sił wewnętrznych. Na to aby przecięty ośrodek zachowywał się tak samo jak przed przecięciem, potrzeba i wystarcza spełnienie ogólnych warunków równowagi zapisanych dla dowolnej z dwu części powstałych w wyniku dokonanego przecięcia. Na skutek tego przecięcia powstają dwa, nieskończenie bliskie, przekroje poprzeczne $I$ i $II.$ W każdym punkcie $A$ przekroju $I$ działa naprężenie $\overrightarrow{\sigma },$ wielkość wektorowa o dwu składowych: normalnej ${\overrightarrow{\sigma }}_n$ do powierzchni przekroju poprzecznego i stycznej $\overrightarrow{\tau }$ do tego przekroju. W punkcie $A^{\text{'}}$ przekroju $II,$ odpowiadającym dokładnie punktowi $A$ z przekroju $I,$ działa naprężenie przeciwnego znaku $-\overrightarrow{\sigma }.$ Dzięki temu oba przekroje oddziaływają na siebie wzajemnie w sposób równoważny. Dlatego bywa, że nie rozróżnia się tych dwu przekrojów, utożsamiając je ze sobą.

Rozkład naprężeń $\overrightarrow{\sigma }$ w przekroju poprzecznym ciała $(I$ lub $II),$ wywołany działaniem danego obciążenia, jest w ogólnym przypadku, zupełnie nieznany. Dlatego najczęściej z tym przekrojem wiąże się konkretny, kartezjański układ współrzędnych $Oxyz$ (gdzie $Ox$ – jest osią pręta, a $Oyz$ – jest płaszczyzną jego przekroju) i w tym układzie definiuje się tzw. siły przekrojoweSzablon:R

• siłę podłużną – $N(x)=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}dA$ – o dodatnim zwrocie zgodnym z normalną $\overrightarrow{n}$ zewnętrzną przekroju,
• siłę poprzeczną – $Q_y(x)=\underset{A}{\int }{\tau }_{xy}dA$ – działającą w kierunku zgodnym z osią $Oy,$
• siłę poprzeczną – $Q_z(x)=\underset{A}{\int }{\tau }_{xz}dA$ – działającą w kierunku zgodnym z osią $Oz,$
• moment zginający – $M_y(x)=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}zdA$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Oy,$
• moment zginający – $M_z(x)=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}ydA$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Oz,$
• moment skręcający – $M_x(x)=\underset{A}{\int }({\tau }_{xz}y-{\tau }_{xy}z)dA$
  – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Ox,$

gdzie:

${\tau }_{xy},{\tau }_{xz}$ są składowymi naprężenia stycznego $\overrightarrow{\tau }$ odpowiednio w kierunku osi $Oy,Oz.$

Obliczenie wartości sił przekrojowych na podstawie powyższych wzorów byłoby oczywiście możliwe wtedy, gdyby były znane funkcje ${\sigma }_n(y,z),{\tau }_{xy}(y,z),{\tau }_{xz}(y,z).$ W przypadku ogólnym są one jednak nieznane i można tylko próbować je odgadnąć, co udaje się tylko w najprostszych przypadkachSzablon:R. I tak na przykład założenie, że

${\sigma }_n(y,z)=ay+bz+c$

prowadzi do rezultatów bardzo ważnych dla praktyki obliczeniowej.

Rozważmy pręt pryzmatyczny o stałym polu przekroju poprzecznego $A$ rozciągany siłą osiową $P,$ stałą na całej długości pręta. Z warunku równowagi zapisanego dla części np. $I$ otrzymamy, że $-P+N=0.$ Przyjmując, że $a=b=0$ otrzymujemy, że $P=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}dA=\underset{A}{\int }cdA=cA.$ Stąd $c=\frac{P}{A}.$

W rozważanym przypadku pozostałe siły przekrojowe mają wartości zerowe.

Gdy obciążenie pręta pryzmatycznego sprowadza się do działania dwu przeciwnie kręcących momentów skupionych $M$ na przeciwległych jego końcach w płaszczyźnie $Oxz,$ możemy zapisać warunek równowagi np. części $I$ w postaci

$-M+M_y=0.$

Jeżeli przyjmiemy, że $a=c=0,$ to otrzymamy

${\sigma }_n(y,z)=bz.$

Stąd

$M_y=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}zdA=\underset{A}{\int }b{z}^{2}dA=b{J}_y\to b=\frac{M_y}{J_y}.$

Analogicznie otrzymujemy dla przypadku zginania względem osi $Oz$ tzn. w płaszczyźnie $Oxy:b=c=0,$

$M_z=\underset{A}{\int }{\sigma }_{n}ydA=\underset{A}{\int }a{y}^{2}dA=a{J}_z\to a=\frac{M_z}{J_z}.$

Dla przypadku, gdy $a\ne b\ne c\ne 0$ otrzymujemy podstawowy wzór ogólny dla pręta pryzmatycznego mimośrodowo rozciąganego/ściskanego

${\sigma }_n=\frac{P}{A}-\frac{M_z}{J_z}y+\frac{M_y}{J_y}z,$

w którym $P,M_y,M_z$ reprezentują działające obciążenie, a $A,J_y,J_z,$ oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego i jego główne, centralne momenty bezwładności względem osi $Oy,Oz.$

Siły przekrojowe nie są od siebie niezależne. Rozważając element o długości $dx,$ wycięty z pręta pryzmatycznego, możemy dla niego zapisać trzy warunki równowagi w płaszczyźnie $Oxz$

• $-N+ndx+N+dN=0,$
• $Q_z-qdx-Q_z-d{Q}_z=0,$
• $M_y+Q_{z}dx+qdx\left(\frac{dx}{2}\right)-M_y-d{M}_y=0,$

w których przez $n,q$ oznaczono gęstości obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Na podstawie tych równań otrzymujemy $n=-\frac{dN}{dx},q=-\frac{d{Q}_z}{dx},Q_z=\frac{d{M}_y}{dx}\to \frac{d^2{M}_y}{d{x}^2}=q.$

Dla pręta pryzmatycznego, o przekroju symetrycznym względem osi $Oz,$ obciążonego w płaszczyźnie $Oxz$ można w prosty sposób wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych ${\tau }_{xz}.$ W tym celu trzeba wyodrębnić z tego pręta fragment o długości $dx,$ a następnie odciąć górną część fragmentu płaszczyzną równoległą do $Oxy$ na wysokości $z.$ Warunek równowagi sił działających na fragment w kierunku osi $Ox$ (po wykorzystaniu związku ${\sigma }_n=\frac{M_y}{J_y}z$) przybiera postać

$-{\tau }_{xz}b(z)dx+\underset{\overline{A}}{\int }d{\sigma }_n\overline{A}=0\to$

$\to {\tau }_{xz}b(z)=\frac{d{M}_y}{dx{J}_y}\underset{\overline{A}}{\int }zd\overline{A}\to$

$\to {\tau }_{xz}=\frac{Q_z(x){\overline{S}}_y(z)}{J_{y}b(z)},$

gdzie:

• ${\tau }_{xz}$ – naprężenie styczne w poziomie $z,$ działające w płaszczyźnie $Oxz,$
• $\overline{A}$ – pole górnej części przekroju odciętej płaszczyzną o równaniu $z=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$
• ${\overline{S}}_y(z)=\underset{\overline{A}}{\int }zd\overline{A}$ – moment statyczny części przekroju (j.w.) liczony względem osi $Oy,$
• $b(z)$ – szerokość przekroju mierzona na wysokości $z.$

Na podstawie tego wzoru otrzymuje się dla przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach $b\times h$

$\overline{S}(z)=b(\frac{h}{2}-z)\frac{1}{2}(\frac{h}{2}+z),J_y=\frac{1}{12}b{h}^3\to$

$\to {\tau }_{xz}=\frac{6Q_z}{A}[\frac{1}{4}-{\left(\frac{z}{h}\right)}^2].$

Jak wynika ze wzoru, rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy o maksymalnej wartości ${\tau }_{max}=1,5\frac{Q}{A}=1,5{\tau }_{sr}$ na osi obojętnej przekroju poprzecznego.

Linki zewnętrzne

• Siły przekrojowe