Przedział wielowymiarowy

Szablon:Spis treści Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowy – podzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

Definicja

Niech $P_{1}, \dots, P_{k}$ będą dowolnymi przedziałami w $ℝ .$ Przedziałem $k$ -wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni $ℝ^{k}$ nazywa się zbiór postaci

P^{(k)} = P_{1} \times \dots \times P_{k} .

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział $0$ -wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których $P_{i}$ dla pewnego $i \in {1, \dots, k}$ w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla $k = - 1 .$ Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle $[0, 1],$ nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

Objętość

Objętością $k$ -wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału $P \subset ℝ^{k}$ nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

| P |_{k} = | P_{1} | \dots | P_{k} |,

gdzie przez $| \cdot |$ rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez $| \cdot |_{k}$ – $k$ -wymiarowego; dla wygody indeks $k$ bywa zwykle pomijany.

Konwencje

Może się zdarzyć, że dla $k ⩾ 2$ przedział $P_{k}$ może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki $\infty$ oraz $0 .$ Przykładem może być prosta ${(x, 0) : x \in ℝ}$ na płaszczyźnie $ℝ^{2},$ która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

0 \cdot \infty = \infty \cdot 0 = 0 .

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol $\infty$ należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli $- \infty$ oraz $+ \infty$ (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu $\infty$ ), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrzna

Szablon:Zobacz też Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów $P, Q \in ℝ^{n}$ zawieranie $P \subseteq Q$ pociąga za sobą nierówność $| P | ⩽ | Q |,$ to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości $| \cdot |$ sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów $ℝ^{n} .$

Zobacz też

równoległościan wielowymiarowy

Bibliografia

Szablon:Cytuj książkę