Prawo Stefana-Boltzmanna

Zależność promieniowania ciała doskonale czarnego od temperatury. Jaśniejsza linia – promieniowanie według przybliżonego prawa Wiena

Prawo Stefana-Boltzmanna – prawo opisujące całkowitą moc wypromieniowywaną przez ciało doskonale czarne w danej temperaturze.

Prawo zostało opracowane doświadczalnie przez Jožefa Stefana w 1878 r., a wykazane na podstawie praw termodynamicznych w 1884 r. przez Ludwiga Boltzmanna.

Wzór

$\mathrm{\Phi }=\sigma T^4,$

gdzie:

$\mathrm{\Phi }$ – strumień energii wypromieniowywany z jednostki powierzchni ciała [$\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$],

$\sigma$ – stała Stefana-Boltzmanna,

$T$ – temperatura w skali Kelvina.

Stała Stefana-Boltzmanna wynosi:

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}=5,670367(13)\times 10^{-8}\frac{W}{m^2{K}^4}.$

Wyprowadzenie

Prawo Stefana-Boltzmanna można wyprowadzić, korzystając z rozkładu Bosego-Einsteina dla fotonów zamkniętych w pudełku o objętości V. Średnia energia fotonów w danej temperaturze T wynosi:

$⟨E⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\hslash \omega \rho (\omega )\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1}\mathrm{d}\omega ,$

gdzie:

$\omega$ – częstotliwość fotonów,

$\rho (\omega )$ – gęstość stanów dla fotonów,

$\hslash$ – stała Diraca,

$k$ – stała Boltzmanna.

Podstawienie wartości

$\rho (\omega )=\frac{V{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}$

daje

$⟨E⟩=\frac{V\hslash }{{\pi }^2{c}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\omega }^3\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1}\mathrm{d}\omega .$

Wartością tej całki jest:

$⟨E⟩=\frac{6V\hslash }{{\pi }^2{c}^3}{\left(\frac{kT}{\hslash }\right)}^4\zeta (4),$

gdzie:

$\zeta (4)$ – wartość funkcji zeta Riemanna.

Powyższy wynik jest równoważny prawu Stefana-Boltzmanna.

Zobacz też

• wektor Poyntinga