Gęstość stanów

Szablon:Dopracować Gęstość stanów jest funkcją opisującą w mechanice kwantowej liczbę dostępnych stanów na jednostkę energii.

Jednym z prostszych modeli opisujących zachowanie się elektronów jest model prawie swobodnych elektronów (NFE - nearly free electron). Zakłada on, że elektron przewodnictwa można potraktować jako cząstkę swobodną, poruszającą się w periodycznym potencjale wytworzonym przez jądra atomowe oraz elektrony rdzenia, nie posiadające swobody. Wpływ potencjału na elektron można opisać używając tensora masy efektywnej:

$\frac{1}{\hslash }\frac{{\partial }^{2}E}{\partial k_i\partial k_j}=\frac{1}{M_{ij}},$

który, gdy jest symetryczny, przechodzi w masę efektywną oznaczaną jak m*.

Wyprowadzenie gęstości stanów dla przypadku niżej wymiarowego wymaga uwzględnienia zachowania informacji o kwantowaniu energii w pozostałych wymiarach. Funkcje gęstości stanów, dla przybliżenia NFE, w krysztale o równych stałych sieciowych (L) wyglądają następująco:

0D - $\rho (E)=2\sum _{n_x,n_y,n_z}\delta (E-E_{n_x,n_y,n_z})$

1D - $\rho (E)=\frac{\sqrt{2m^{*}}L}{2\pi \hslash }\sum _{n_y,n_z}\frac{\mathrm{\Theta }(E-E_{n_y,n_z})}{\sqrt{E-E_{n_y,n_z}}}$

2D - $\rho (E)=\frac{L^2{m}^{*}}{2\pi {\hslash }^2}\sum _{n_z}\mathrm{\Theta }(E-E_{n_z})$

3D - $\rho (E)=\frac{L^3}{(2\pi {)}^2}(\frac{2m^{*}}{{\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}$