Operator Fredholma

Operator Fredholma – w analizie funkcjonalnej, ograniczony operator liniowy pomiędzy dwiema przestrzeniami Banacha, którego jądro i kojądro są skończenie wymiarowe. Nazwa pojęcia pochodzi od Erika Ivara Fredholma, który rozważał takie operatory w teorii równań całkowych.

Twierdzenie Atkinsona

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami Banacha oraz niech $T:X\to Y$ będzie ograniczonym operatorem liniowym. Twierdzenie Atkinsona mówi, że $T$ jest operatorem Fredholma wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki operator $S:Y\to X,$ że operatory

$I_X-ST,I_Y-TS$

są zwarteSzablon:Odn.

Indeks Fredholma

Dla danego operatora Fredholma $T:X\to Y$ definiuje się jego indeks Fredholma $\mathrm{ind}T$ wzorem

$\mathrm{ind}T:=\dim \ker T-\mathrm{codim}T(X),$

czyli innymi słowy,

$\mathrm{ind}T=\dim \ker T-\dim \mathrm{coker}T,$

gdzie coker $T$ oznacza kojądro $T.$ Indeks Fredholma jest zatem liczbą całkowitą.

Własności

• Z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym wynika, że obraz operatora Fredholma jest domkniętySzablon:Odn.

• Rodzina $\mathrm{\Phi }(X,Y)$ złożona ze wszystkich operatorów Fredholma z $X$ do $Y$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni wszystkich operatorów z $X$ do $Y.$ Innymi słowy, dla każdego operatora Fredholma $T_0:X\to Y$ istnieje taka liczba $\epsilon >0$ że dla każdy operator ograniczony $T:X\to Y$ o tej własności, że $||T-T_0||<\epsilon$ jest również operatorem Fredholma, który ma ponadto ten sam indeks co $T_0$Szablon:Odn.

• Jeżeli $T:X\to Y$ i $U:Y\to Z$ są operatorami Fredholma, to złożenie $UT:X\to Z$ jest również operatorem Fredholma oraz

$\mathrm{ind}(UT)=\mathrm{ind}(U)+\mathrm{ind}(T)$Szablon:Odn.

• Operator sprzężony do operatora Fredholma $T$ jest również operatorem Fredholma oraz $\mathrm{ind}(T^{*})=-\mathrm{ind}(T)$Szablon:Odn. Takie same relacje zachodzą dla operatorów sprzężonych do operatorów Fredholma działających między przestrzeniami HilbertaSzablon:Odn.

• Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli $T:X\to Y$ jest operatorem Fredholma, a $K:X\to Y$ jest operatorem zwartym, to $T+K$ jest również operatorem Fredholma oraz $\mathrm{ind}(T)=\mathrm{ind}(T+K).$ Ogólniej, jeżeli $T:X\to Y$ jest operatorem Fredholma a $S:X\to Y$ jest operatorem ściśle singularnym, to $T+S$ jest również operatorem Fredholma oraz $\mathrm{ind}(T)=\mathrm{ind}(T+S)$.

Przykład

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną $(e_n)$ indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech $S:H\to H$ będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.

$S(e_n)=e_{n+1}(n⩾0).$

Wówczas $S$ jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra $S$ wynosi 0 ($S$ jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc $S$ jest operatorem Fredholma o indeksie $\mathrm{ind}(S)=-1.$ Kolejne potęgi $S^k,k⩾0$ są operatorami Fredholma o indeksie $-k.$ Operatorem sprzężonym do $S$ jest operator przesunięcia w lewo:

$S^{*}(e_0)=0,S^{*}(e_n)=e_{n-1}(n⩾1).$

Operator $S^{*}$ jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1Szablon:Odn.

Bibliografia

• Yuri A. Abramovich, Charalambos D. Aliprantis, An Invitation to Operator Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2002.
• Szablon:Cytuj książkę
• Joram Lindenstrauss, Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1977.