Model Markowitza

Model Markowitza (model średniej-wariancji)

Model Markowitza został zaproponowany przez Harry’ego M. Markowitza w 1952 roku w artykule Portfolio Selection. Sformułowanie problemu jest następujące: inwestor, konstruując swój portfel, chciałby jednocześnie zwiększać zysk i zmniejszać ryzyko z tym portfelem związane – w tym celu powinien jednak uwzględnić różnego rodzaju powiązania między spółkami, w które inwestuje. Markowitz w jednej ze swoich książek pisze:

W swoim modelu Markowitz podaje propozycję rozwiązania problemu dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego: minimalizacja ryzyka (wyrażonego poprzez wariancję) przy ustalonym z góry poziomie zysku (wyrażonego przez wartość oczekiwaną), jaki chce osiągnąć inwestor. Model Markowitza jest także nazywany modelem średniej-wariancji, Mean-Variance Model (ang.).

Oznaczenia modelu

• $x=[x_1,\dots ,x_n{]}^T:$ strategia inwestycyjna, albo inaczej portfel, $x_i$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ to udział kapitału, jaki został przeznaczony na inwestycję w spółkę giełdową $i$
• $R=\sum _{i=1}^n{x}_i{R}_i:$ $n$-wymiarowa Zmienna losowa przyszłych zwrotów z akcji spółek giełdowych
• $\mu :$ wektor wartości średnich zmiennej $R,$ gdzie ${\mu }_i=𝔼(R_i)$
• $E(x)=\sum _{i=1}^n{x}_i{\mu }_i=x^T\mu :$ wartość oczekiwana zwrotu z portfela to $E=𝔼(R)$
• ${\sigma }_{ij}=𝔼[(R_i-{\mu }_i)(R_j-{\mu }_j)]$ to kowariancja $R_i$ oraz $R_j$ (dla $1⩽i\ne j⩽n$), gdzie ${\sigma }_{ij}={\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j;$ przez ${\rho }_{ij}=\text{corr}(R_i,R_j)$ oznaczamy współczynnik korelacji Pearsona, zaś ${\sigma }_i^2=Var(R_i)$ oraz ${\sigma }_j^2=Var(R_j)$
• ${\sigma }^2(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{x}_j{\sigma }_{ij}=x^T\mathrm{\Sigma }x:$ wariancja zwrotu z portfela; w szczególności ${\sigma }_{ii}=𝔼(R_i-{\mu }_i{)}^2={\sigma }_i^2=Var(R_i)$
• $\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{n1}& \cdots & {\sigma }_{nn}\end{array}\right]:$ macierz kowariancji zmiennej $R;$ jest to macierz nieujemnie określona i symetryczna.

Założenia modelu

Zbiór $x=[x_1,x_2,x_3{]}^T$ spełniających założenia modelu dla $n=3$

• $\sum _{i=1}^n{x}_i=1$ – udziały w portfelu sumują się do 1; inwestujemy 100% kapitału
• $x_i⩾0$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ – zakaz krótkiej sprzedaży

Rozwiązanie problemu

Przy podanych wcześniej założeniach modelu należy zminimalizować ryzyko ${\sigma }^2=x^T\mathrm{\Sigma }x$ przy ustalonym poziomie zysku $E.$

$\{\begin{array}{c}{x}^T\mathrm{\Sigma }x\to min\\ x^T\mu =E\\ {\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n{x}_i=1\\ x_1,\dots ,x_n⩾0\end{array}.$

Tak postawiony problem rozwiązuje się, korzystając z metody Karusha-Kuhna-Tuckera.

Prosta krytyczna

W modelu Blacka, przy pominięciu zakazu krótkiej sprzedaży, oraz dodaniu założenia $\mu \parallel ̸[1,\dots ,1{]}^T$ oraz założenia o dodatniej określoności macierzy $\mathrm{\Sigma },$ otrzymuje się dokładnie jeden portfel $x,$ zależący od $E$ w sposób afiniczny. Oznacza to, że przy zmieniającym się $E$ zbiór rozwiązań $x$ tworzy prostą, nazywaną prostą krytyczną. Prosta ta może (ale nie musi) przecinać zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie Markowitza (tj. spełniających założenia modelu Markowitza).

$x={\mathrm{\Sigma }}^{-1}({\lambda }_1\mu +{\lambda }_2[1,\dots ,1{]}^T),$ gdzie

• $\alpha ={\mu }^T{\mathrm{\Sigma }}^{-1}\mu ,$
• $\beta =[1,\dots ,1]{\mathrm{\Sigma }}^{-1}\mu ,$
• $\gamma =[1,\dots ,1]{\mathrm{\Sigma }}^{-1}[1,\dots ,1{]}^T,$
• ${\lambda }_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}E& \beta \\ 1& \gamma \end{array}\right|}{\alpha \gamma -{\beta }^2}$ oraz ${\lambda }_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}\alpha & E\\ \beta & 1\end{array}\right|}{\alpha \gamma -{\beta }^2}$

Granica minimalna, granica efektywna, portfel efektywny

Przekształcenie $x\to ({\sigma }^2(x),E(x))$ przypisuje portfelowi jego ryzyko i zwrot. Z wszystkich portfeli o danym ryzyku ${\sigma }^2$ dla inwestora najlepszy jest ten, który ma największe $E.$ Obrazy portfeli o tej własności to zbiór lewych końców przecięcia obrazu zbioru portfeli dopuszczalnych na płaszczyźnie $({\sigma }^2,E)$ z prostymi $E=const.$ Zbiór ten określa się pojęciem granicy minimalnej. Podzbiór tego zbioru, składający się z punktów, dla których nie istnieje portfel dopuszczalny $x$ o nie mniejszej $E$ i mniejszym $\sigma ,$ ani portfel o większej $E$ i nie większym $\sigma ,$ nosi nazwę granicy efektywnej. Portfele odpowiadające punktom granicy efektywnej to portfele efektywne.

Uwaga

Minimalizacja wariancji ${\sigma }^2$ jest równoważna minimalizacji odchylenia standardowego $\sigma .$ Z tego powodu rozwiązanie problemu nie zmienia się, niezależnie, czy rozpatruje się portfele i ich obrazy w przekształceniu $x\to (x^T\mathrm{\Sigma }x,x^T\mu )=({\sigma }^2(x),E(x)),$ czy też w przekształceniu $x\to (\sqrt{x^T\mathrm{\Sigma }x},x^T\mu )=(\sigma (x),E(x))$

Przykład 1

Przykład 1, rysunek 1

Przykład 1, rysunek 2

Niech $\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}9& 3& 1\\ 3& 2& 2\\ 1& 2& 4\end{array}\right]$ oraz $\mu =[5,4,2{]}^T.$ Założenia: $x_1,x_2,x_3⩾0$ oraz $x_1+x_2+x_3=1.$ Zmienną $x_3$ można zatem zastąpić przez $1-x_1-x_2.$ Zbiór portfeli dopuszczalnych został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi $x=[x_1,x_2,x_3{]}^T=[x_1,x_2,1-x_1-x_2{]}^T$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to $x\to (\sqrt{x^T\mathrm{\Sigma }x},x^T\mu )=(4-6x_1+11x_1^2-4x_2+8x_1{x}_2+2x_2^2,2+3x_1+2x_2)=(\sigma (x),E(x)).$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to $(\frac{1}{7}(2-E),\frac{5}{7}(E-2),\frac{1}{7}(15-4E)).$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie $(\sigma ,E)$ krzywe zaznaczone kolorem różowym i niebieskim oraz wszystkie wyróżnione punktu, tworzą granicę minimalną, przy czym krzywa zaznaczona na różowo, włącznie z punktami $(\sqrt{2},4),$ $(3,5)$ tworzą granicę efektywną.

Przykład 2

Przykład 2, rysunek 1

Przykład 2, rysunek 2

Niech $\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ oraz $\mu =[4,3,1{]}^T.$ Założenia: $x_1,x_2,x_3⩾0$ oraz $x_1+x_2+x_3=1.$ Zmienną $x_3$ można zatem zastąpić przez $1-x_1-x_2.$ Zbiór portfeli dopuszczalnych (tj. spełniających założenia modelu) został przedstawiony na rysunku (jest to niebieski symplex). Przekształcenie przypisujące portfelowi $x=[x_1,x_2,x_3{]}^T=[x_1,x_2,1-x_1-x_2{]}^T$ jego średnią i odchylenie standardowe (pierwiastek z wariancji) to $x\to (\sqrt{x^T\mathrm{\Sigma }x},x^T\mu )=(4x_1^2+x_2^2+(-1+x_1+x_2{)}^2,1+3x_1+2x_2)=(\sigma (x),E(x)).$ Prosta krytyczna w postaci parametrycznej to $(\frac{1}{13}(2E-3),\frac{1}{26}(7E-4),\frac{1}{26}(36-11E)).$ Prosta ta i jej obraz w zadanym przekształceniu zostały naniesione (na czarno) na rysunki zbioru portfeli dopuszczalnych oraz ich obrazu w tym przekształceniu; punkty wspólne prostej krytycznej oraz sympleksu, jak i ich obrazy w przekształceniu, zostały zaznaczone kolorem czerwonym. Boki sympleksu i ich obrazy w przekształceniu zostały zaznaczone kolejnymi kolorami. Na płaszczyźnie $(\sigma ,E)$ punkty $(1,1),$ $(\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{3}{2})$ i fragment niebieskiej krzywej między nimi, czerwona krzywa, punkty $(\frac{10}{11},\frac{36}{11}),$ $(2,4)$ i fragment różowej krzywej zawarty między nimi, tworzą granicę minimalną, zaś jej fragment zawarty między punktami $(\frac{2}{3},\frac{20}{9})$ tworzy granicę efektywną.

Przykład 3

Przykład 3, rysunek 1

Niech $\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 6\\ 2& 1& 3\\ 6& 3& 9\end{array}\right]$ (tzn. ${\sigma }_1=2,$ ${\sigma }_2=1,$ ${\sigma }_3=3,$ zaś ${\rho }_{ij}=1$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$) oraz $\mu =[1,2,3{]}^T.$ Granica efektywna składa się z odcinków: różowego i niebieskiego, łącznie z końcami. Granica minimalna to odcinek różowy, z końcami włącznie.

Przykład 4

Przykład 4, rysunek 1

Niech $\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ -2& 4& 2\\ -1& 2& 1\end{array}\right]$ (tzn. ${\sigma }_1=2,$ ${\sigma }_2=1,$ ${\sigma }_3=3,$ zaś ${\rho }_{12}={\rho }_{21}={\rho }_{13}={\rho }_{31}=-1,$ ${\rho }_{23}=1$) oraz $\mu =[1,2,3{]}^T.$ Granica efektywna to łamana o wierzchołkach: $(1,1),$ $(0,\frac{4}{3}),$ $(0,2),$ $(1,3).$ Granica minimalna to odcinek o końcach $(0,2)$ i $(1,3).$