Lemat Phillipsa

Lemat Phillipsa – twierdzenie dotyczące miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Twierdzenie udowodnione przez Ralpha S. Phillipsa w 1940. Pierwotną motywacją Phillipsa stojącą za wykazaniem twierdzenia było obalenie pewnego stwierdzenia Gelfanda dotyczącego zwartych podzbiorów przestrzeni BanachaSzablon:Odn. Twierdzenie to jednak doczekało się dalszych zastosowań (twierdzenie Phillipsa-Sobczyka czy wykazana przez Grothendiecka własność Grothendiecka przestrzeni ℓ_∞).

Twierdzenie

Niech $\{{\mu }_n:n\in \mathbb{N}\}$ będzie rodziną ograniczonych skończenie addytywnych miar (przyjmujących wartości rzeczywiste) na zbiorze potęgowym zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla każdego podzbioru A ⊆ ℕ spełniony jest warunek

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mu }_n(A)=0.$

Wówczas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\mu }_n(\{k\})|=0$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Dyskusja założenia ograniczoności miar

Ograniczność miary $\mu$ oznacza warunek

$\Vert \mu {\Vert }_1<\mathrm{\infty },$

gdzie $\Vert \mu {\Vert }_1$ jest wahaniem miary $\mu .$ Niektórzy autorzySzablon:Odn wymagają założenia mocniejszego od ograniczoności każdej z miar, postulując by

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert {\mu }_n{\Vert }_1<\mathrm{\infty };$

to jednak wynika z przyjętego założenia w wypowiedzi lematu Phillipsa na mocy twierdzenia Nikodyma o ograniczonościSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę