Lemat Auerbacha

Lemat Auerbacha – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej $X$ istnieje taka baza $\{e_1,\dots ,e_n\},$ że

$\Vert e_1\Vert =\dots =\Vert e_n\Vert =\Vert e_1^{*}\Vert =\dots =\Vert e_n^{*}\Vert =1,$

gdzie symbolami $e_1^{*},\dots ,e_n^{*}$ oznaczone są elementy (funkcjonały) bazy sprzężonej do wyjściowej bazy $e_1,\dots ,e_n.$ Bazy o tej własności nazywane są bazami Auerbacha.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Auerbacha, polskiego matematyka, który udowodnił najpierw przypadek dwuwymiarowy w swojej rozprawie doktorskiej napisanej we Lwowie, a następnie w przypadku ogólnym (dowód Auerbacha przypadku ogólnego nie zachował się). Alternatywne dowody podali M.M. Day i A.E. Taylor. Pojęcie układu Auerbacha uogólnia bazy o powyższej własności na przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

Dowód Taylora

Niech $X$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią unormowaną. Dla danego układu biortogonalnego $(y_j,y_j^{*}{)}_{1⩽j⩽n}$ rozważmy funkcję

$V(z_1,\dots ,z_n)=\det [⟨z_i,y_j^{*}⟩{]}_{i,j=1,\dots ,n}(\Vert z_1\Vert ,\dots ,\Vert z_n\Vert ⩽1).$

Funkcja $V$ jest ciągła. Ponieważ przestrzeń $X$ jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru

$B_n=\{(z_1,\dots ,z_n)\in X^n:\Vert z_1\Vert ,\dots ,\Vert z_n\Vert ⩽1\}.$

Ze zwartości $B_n$ oraz ciągłości funkcji $V$ wynika istnienie takiego punktu $(x_1,\dots ,x_n)\in B_n,$ że

$V(x_1,\dots ,x_n)=\max \{V(z_1,\dots ,z_n):(z_1,\dots ,z_n)\in B_n\}.$

W szczególności,

$\Vert x_1\Vert =\dots =\Vert x_n\Vert =1.$

Dla każdego $1⩽i⩽n$ definiujemy funkcjonał $x_i^{*}$ wzorem

$⟨x,x_i^{*}⟩=\frac{V(x_1,\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_n)}{V(x_1,\dots ,x_n)}(x\in X).$

Z $n$-liniowości wyznacznika wynika, że $x_i^{*}$ jest funkcjonałem liniowym, ponadto $(x_j,x_j^{*}{)}_{1⩽j⩽n}$ jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że

$\Vert x_1^{*}\Vert =\dots =\Vert x_n^{*}\Vert =1.$

Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie

Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie:

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz niech $F$ będzie jej $n$-wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) $P:X\to E$ o normie co najwyżej $n.$

Dowód. Istotnie, niech $\{f_1,\dots ,f_n\}$ będzie bazą przestrzeni $F$ o tej własności, że

$\Vert f_1\Vert =\dots =\Vert f_n\Vert =\Vert f_1^{*}\Vert =\dots =\Vert f_n^{*}\Vert =1,$

gdzie $\{f_1^{*},\dots ,f_n^{*}\}$ oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów $f_i^{*}$ daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału ${\phi }_i^{*}\in X^{*}$ o normie 1. Niech

$Px=\sum _{i=1}^n⟨x,{\phi }_i⟩f_i(x\in X).$

Wówczas $P$ jest operatorem liniowym na $X,$ którego obraz zawiera się w $F.$ Ponadto, $Px=x$ dla każdego $x\in F.$ Norma $P$ nie przekracza $n$ ponieważ $P$ jest sumą $n$ operatorów o normie 1. Rzeczywiście,

$\Vert ⟨x,{\phi }_i⟩f_i\Vert ⩽\Vert x\Vert \Vert {\phi }_i\Vert \Vert f_i\Vert =\Vert x\Vert ,$

co kończy dowód.

Bibliografia

• Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, s. 146.
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Przemysław Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts. Cambridge Studies in Advancod Mathematics, Cambridge University Press, vol. 25, 1991, s. 75.