Iniektywna przestrzeń Banacha

Iniektywna przestrzeń Banacha – przestrzeń Banacha $E$ o tej własności, że jeżeli $E$ jest izomorficzna z podprzestrzenią $E_0$ pewnej przestrzeni Banacha $F,$ to istnieje operator liniowy i ciągły $P:F\to F$ o obrazie równym $E_0$ (tzn. $P(F)=E_0;$ $P$ jest więc rzutem ograniczonym na $E_0$). Zakładając dodatkowo, że norma operatora $P$ jest ograniczona przez liczbę $\lambda >0,$ to iniektywne przestrzenie Banacha o tej własności nazywane są $P_{\lambda }$-przestrzeniami.

Własności

• Niech $E$ będzie iniektywną przestrzenią Banacha, która jest izomorficzna z pewną przestrzenią sprzężoną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
  • $E$ jest izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni $L_{\mathrm{\infty }}(\mu )$ dla pewnej miary skończonej $\mu ;$

${\ell }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Gamma }).$

• • Przestrzeń ${\ell }_{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Gamma })$ nie jest izomorficzna z podprzestrzenią $E$ dla każdego zbioru nieprzeliczalnego $\mathrm{\Gamma };$
  • Każdy podzbiór słabo zwarty przestrzeni $E$ jest ośrodkowy;
  • Istnieje taka miara skończona $\mu$ oraz podprzestrzeń $A$ przestrzeni $L_1(\mu ),$ że $E$ jest izomorficzne z $A^{*}$.
• Przestrzeń Bancha jest $P_1$-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometryczna z przestrzenią Banacha $C(K)$ funkcji ciągłych na ekstremalnie niespójnej przestrzeni zwartej.