Funkcja produkcji CES

Funkcja produkcji CES (ang. Constant elasticity of substitution) – funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji, którą pierwotnie zaproponował Robert Solow, a spopularyzował m.in. Kenneth Arrow jako uogólnienie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Dla dwóch czynników – pracy i kapitału – funkcja przyjmuje postać:

$f(k,l)={(\alpha k^{\frac{\sigma -1}{\sigma }}+\beta l^{\frac{\sigma -1}{\sigma }})}^{\frac{\sigma }{\sigma -1}},$

gdzie:

$\alpha ,\beta ,\sigma$ są większe od 0,

$k$ – kapitał,

$l$ – praca,

$\sigma$ – elastyczność substytucji,

co jest równoznaczne z zapisem:

$f(x_1,x_2)=(\alpha {x_1}^{\rho }+\beta {x_2}^{\rho }{)}^{\frac{\gamma }{\rho }},$

gdzie:

$\gamma$ – stopień jednorodności, zazwyczaj przyjmuje się $\gamma =1.$

Właściwości funkcji

Funkcja CES jest homogeniczna stopnia $\gamma .$ Dla $\rho ⩽-1$ jest quasi-wypukła, dla $\rho ⩾-1$ quasi-wklęsła. Dla $0<\gamma <1$ i $\rho >-1$ jest ściśle wklęsła.

Elastyczność funkcji CES

Cechuje ją stały wzdłuż izokwanty stosunek procentowej zmiany proporcji czynników produkcji do procentowej zmiany krańcowej stopy technicznej substytucji (MRTS).

$MRT{S}_{k,l}=\frac{\alpha k^{\frac{-1}{\sigma }}}{\beta l^{\frac{-1}{\sigma }}},$

po przekształceniu:

$\frac{k}{l}={\left(\frac{\alpha MRT{S}_{l,k}}{\beta }\right)}^{\sigma }.$

Po zlogarytmowaniu obu stron:

$\ln \frac{k}{l}=\sigma (\ln \frac{\alpha }{\beta }+\ln |MRT{S}_{l,k}|).$

Stąd elastyczność substytucji:

$ES=\frac{\ln \frac{k}{l}}{\ln |MRT{S}_{l,k}|}=\sigma .$

Minimalizacja kosztów

Problem minimalizacji kosztów dla funkcji produkcji CES w postaci $f(x_1,x_2)=({x_1}^{\rho }+{x_2}^{\rho }{)}^{\frac{1}{\rho }}$ można przedstawić jako:

$\min p_1{x}_1+p_2{x}_2$

przy warunku:

${x_1}^{\rho }+{x_2}^{\rho }=y^{\rho }.$

Wykorzystując metodę mnożników Lagrange’a, uzyskujemy warunki pierwszego rzędu:

$p_1-\lambda \rho {x_1}^{\rho -1}=0,$

$p_2-\lambda \rho {x_2}^{\rho -1}=0,$

${x_1}^{\rho }+{x_2}^{\rho }=y^{\rho }.$

Wyznaczamy $x_1^{\rho }\text{i}{x}_2^{\rho }$ (1)

$x_1^{\rho }=p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac{-\rho }{\rho -1}},$

$x_2^{\rho }=p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}{(\lambda \rho )}^{\frac{-\rho }{\rho -1}}$

i podstawiamy do funkcji produkcji, co daje

$(\lambda \rho {)}^{\frac{-\rho }{\rho -1}}[p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}+p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}]=y^{\rho }.$

Wyznaczamy $(\lambda \rho {)}^{\frac{-\rho }{\rho -1}}$ i podstawiamy do równań z (1):

$x_1(p_1,p_2,y)=p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}{[p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}+p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}]}^{\frac{-1}{\rho }}y,$

$x_2(p_1,p_2,y)=p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}{[p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}+p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}]}^{\frac{-1}{\rho }}y.$

Powstałe w ten sposób funkcje podstawiamy do funkcji kosztów i otrzymujemy

$c(p_1,p_2,y)=y{[p_1^{\frac{\rho }{\rho -1}}+p_2^{\frac{\rho }{\rho -1}}]}^{\frac{\rho -1}{\rho }}.$

W ogólnym przypadku, gdzie $f(x_1,x_2)=[(\alpha x_1{)}^{\rho }+(\beta x_2{)}^{\rho }{]}^{\frac{1}{\rho }},$ a za $\frac{\rho }{\rho -1}$ przyjmiemy $r,$ funkcja kosztów przyjmuje postać: $c(p_1,p_2,y)=y[(p_1/\alpha {)}^r+(p_2/\beta {)}^r{]}^{\frac{1}{r}}.$

Szczególne przypadki funkcji CES

Funkcja Cobba-Douglasa

W granicy dla $\rho =0$ i $\sigma =1$ funkcja CES jest tożsama z funkcją Cobba-Douglasa:

Żeby to udowodnić, należy zlogarytmować funkcję CES

$\ln (Y)=\ln (A)+\frac{1}{\rho }\ln (\alpha K^{\rho }+(1-\alpha )L^{\rho })$

i obliczyć jej granicę, używając reguły de l’Hopitala

$\underset{\rho \to 0}{\lim }\ln (Y)=\ln (A)+\alpha \ln (K)+(1-\alpha )\ln (L),$

stąd $Y=A{K}^{\alpha }{L}^{1-\alpha }.$

Funkcja Leontiefa

Przy zerowej elastyczności substytucji, czyli $\sigma =0$ funkcja jest z definicji tożsama z funkcją produkcji Leontiefa

$Y=f(k,l)=\min \{\alpha k,\beta l\}.$

Funkcja liniowa

Przy nieskończonej elastyczności, czyli $\sigma =\mathrm{\infty }$ funkcja CES jest liniowa:

$Y=f(k,l)=\alpha k+\beta l.$

Zobacz też

• krańcowa stopa substytucji
• korzyści skali

Bibliografia

• R.W. Shephard, Theory of cost and production functions, Princeton University Press, Princeton, 1978.
• P.H. Douglas, Are there laws of production?, „American Economic Review”, 1948.
• M. Fuss, D. McFadden, Production economics: a dual approach to theory and application, North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Hal R. Varian, Microeconomic analysis, 3rd ed, New York: Norton, 1992.

Linki zewnętrzne

• Anatomy of CES Production/Utility Functions in Three Dimensions
• Closed Form Solutions in Economics