Dywizor

Algebraiczna teoria liczb

Dywizor – uogólnienie pojęcia dzielnika elementu pierścienia przemiennego. Pojecie to pojawiło się po raz pierwszy, pod nazwą dzielnika idealnego, w pracach E. Kummera o arytmetyce ciał podziału koła.

Teoria dywizorów dla pierścienia przemiennego z jedynką $P$ bez dzielników zera polega na konstrukcji homomorfizmu $\phi :P^{*}\to 𝒟$ multiplikatywnej półgrupy $P^{*}$ niezerowych elementów $P$ w pewną półgrupę $𝒟$ z jednoznacznością rozkładu na czynniki, której elementy nazywają się (całkowitymi) dywizorami pierścienia $P.$ Pozwala to na sprowadzenie problemów związanych z rozkładem na czynniki elementów pierścienia $P$ do rozkładu na czynniki w $𝒟.$ Obraz $\phi (a),$ gdzie $a\in P,$ oznaczany jest przez $(a)$ i nazywany dywizorem głównym elementu $a.$ Element $a\in P^{*}$ jest z definicji podzielny przez $𝔞\in 𝒟,$ jeśli $𝔞$ dzieli $(a)$ w $𝒟.$

Definicja

Niech $𝒟$ będzie wolną półgrupą abelową z jedynką, generatory której nazywają się dywizorami pierwszymi, i niech będzie dany homomorfizm $\phi :P^{*}\to 𝒟.$ Homomorfizm ten określa teorię dywizorów w pierścieniu $P,$ jeśli spełnione są następujące warunki:

1. Dla $\phi :a,b\in P^{*}$ element $a$ dzieli element $b$ w pierścieniu $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ dzieli $(b)$ w $𝒟.$
2. Dla dowolnego $𝔞\in 𝒟$ zbiór $[𝔞]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:𝔞|(a)\}$ jest ideałem pierścienia $P.$
3. Jeśli $𝔞,𝔟\in 𝒟$ i dla dowolnego $a\in P^{*}$ element $(a)$ jest podzielny przez $𝔞$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ jest podzielny $𝔟,$ to $𝔞=𝔟$.

Warunki te wyznaczają teorię dywizorów pierścienia $P,$ jeśli ona istnieje, jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Powyższa definicja jest równoważna następującej:

1. Dla $\phi :a,b\in P^{*}$ element $a$ dzieli element $b$ w pierścieniu $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(a)$ dzieli $(b)$ w $𝒟.$
2. Niech $[𝔞]=\{0\}\cup \{a\in P^{*}:𝔞|(a)\}.$ Jeśli $\alpha ,\beta \in [𝔞],$ to $\alpha \pm \beta \in [𝔞].$
3. Jeśli $[𝔞]=[𝔟],$ to $𝔞=𝔟$ i dla dowolnego $𝔞$ zbiór $[𝔞]$ zawiera elementy niezerowe.

Własności

1. Każdy pierścień, w którym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki ma teorię dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne.
2. Jeśli w pierścieniu istnieje teoria dywizorów, w której wszystkie dywizory są główne, to w pierścieniu tym spełnione jest podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Powierzchnie Riemanna

Odwzorowanie $𝔇:X\to \mathbb{(}Z),$ gdzie $X$ jest powierzchnią Riemanna, a $\mathbb{Z}$ – pierścieniem liczb całkowitych jest nazywane dywizorem na $X,$ jeśli dla każdego zwartego podzbioru $K\subset X$ zbiór $\{x\in K:𝔇(x)\ne 0\}$ jest zbiorem skończonym.

Zbiór wszystkich dywizorów tworzy grupę abelową $Div(X)$ ze względu na dodawanie przekształceń. Jest on również uporządkowany częściowo relacją:

${𝔇}_1⩽{𝔇}_2\iff {\mathrm{\forall }}_{x\in X}{𝔇}_1(x)⩽{𝔇}_2(x)$Szablon:R.

Dywizor funkcji meromorficznej

Jeśli $V$ jest podzbiorem otwartym powierzchni Riemanna $X,$ to dla dowolnej funkcji meromorficznej $f:V\to \overline{ℂ}$ oraz punktu $a\in V$ można określić funkcję ${\mathrm{ord}}_a(f),$ która jest równa:

1. 0, jeśli funkcja $f$ jest holomorficzna i różna od zera w $a,$
2. $k,$ jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $a$ zero rzędu $k,$
3. $-k,$ jeśli funkcja $f$ ma w punkcie $a$ biegun rzędu $k,$
4. $\mathrm{\infty },$ jeśli $f\equiv 0$ w pewnym otoczeniu punktu $a.$

Odwzorowanie $x\mapsto {\mathrm{ord}}_x(f)$ jest dywizorem na $X,$ nazywane jest dywizorem funkcji $f$ i oznaczane przez $(f).$

Funkcja $f$ jest podzielna przez dywizor $𝔇,$ jeśli $𝔇⩽(f),$ a holomorficzna, jeśli $0⩽(f).$

Geometria algebraiczna

W geometrii algebraicznej, dywizor można interpretować jako uogólnienie pojęcia podrozmaitości rozmaitości algebraicznych. Rozważa się wtedy dwa rodzaje dywizorów: dywizory Cartiera i dywizory Weila. Te dwie definicje pokrywają się w przypadku nieosobliwych rozmaitości nad ciałami domkniętymi algebraicznie, w ogólności jednak są różne.

Dywizory Weila

Dywizor Weila to lokalnie skończona kombinacja liniowa nierozkładalnych podrozmaitości kowymiaru 1. Zbiór dywizorów Weila tworzy grupę abelową z działaniem dodawania. W klasycznej teorii dywizorów warunek lokalnej skończoności jest pomijany jako zawsze spełniony; w takiej sytuacji grupa dywizorów Weila rozmaitości wymiaru $n$ to po prostu wolna grupa abelowa nad nierozkładalnymi podrozmaitościami wymiaru $n-1.$ Na przykład dywizor na krzywej algebraicznej to suma formalna (o skończonej ilości niezerowych współczynników) jej punktów. W przypadku krzywej eliptycznej $E$ sytuacja jest jeszcze prostsza – każdy dywizor $D$ jest liniowo równoważny pewnemu dywizorowi $D_0=[P]-[O],$ tzn. $D=k{D}_0$ dla pewnego $k\in \mathbb{Z},$ gdzie $P$ jest pewnym jednoznacznie wyznaczonym punktem na $E,$ zaś $O$ jest zerem (punktem bazowym) na krzywej. Odpowiedniość ta pozwala wprowadzić i uzasadnić nieintuicyjne w swej postaci algebraicznej działanie grupowe dla krzywych eliptycznych, wychodząc z pojęć geometrii algebraicznej.

Grupę dywizorów rozmaitości $V$ oznacza się przez $Div(V).$

Dywizor efektywny Weila to taki, w którym wszystkie współczynniki w sumie są nieujemne.

Zobacz też

• dywizor pierwszy
• krzywa hipereliptyczna
• rozmaitość algebraiczna
• teoria przecięcia

Literatura

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• J.S. Milne, Algebraic Geometry course notes