Człon inercyjny

Człon inercyjny – w automatyce to układ, którego transmitancja ma postać

G (s) = \frac{k}{(1 + s T_{1}) (1 + s T_{2}) \dots (1 + s T_{n})},

gdzie:

k \in ℝ

T_{i} \in ℝ^{+}, i = 1, 2, \dots, n

– stałe czasowe inercji,

n

– rząd inercji członu.

Człon inercyjny I rzędu

Człon inercyjny pierwszego rzędu ma transmitancję postaci:

G (s) = \frac{k}{1 + s T} .

g (t) = \frac{k}{T} e^{- \frac{t}{T}} \cdot 𝟏 (t) .

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi:

H (s) = G (s) \cdot X (s) = \frac{k}{1 + s T} \cdot \frac{1}{s} = \frac{k}{s (1 + s T)},

h (t) = k (1 - e^{- \frac{t}{T}}) \cdot 𝟏 (t) .

Charakterystyka sinusoidalna członu inercyjnego I rzędu wynosi:

y (t) = \frac{k T ω}{1 + ω^{2} T^{2}} e^{- \frac{t}{T}} + \frac{k}{\sqrt{1 + ω^{2} T^{2}}} \sin (ω t + ϕ) .

G (j ω) = \frac{k}{1 + j ω T} = \frac{k}{1 + (ω T)^{2}} - j \frac{k ω T}{1 + (ω T)^{2}},

przyjmując $G (j ω) = P (ω) + j Q (ω),$ otrzymuje się:

P (ω) = \frac{k}{1 + (ω T)^{2}},

Q (ω) = - \frac{k ω T}{1 + (ω T)^{2}} .

ϕ (ω) = - arctg (ω T) .

Człon inercyjny drugiego rzędu ma postać:

G (s) = \frac{k}{(1 + s T_{1}) (1 + s T_{2})} .

g (t) = \frac{k}{T_{1} - T_{2}} (e^{- \frac{t}{T_{1}}} - e^{- \frac{t}{T_{2}}}) \cdot 𝟏 (t) .

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego II rzędu wynosi:

H (s) = G (s) \cdot X (s) = \frac{k}{(1 + s T_{1}) (1 + s T_{2})} \cdot \frac{1}{s} = \frac{k}{s (1 + s T_{1}) (1 + s T_{2})},

h (t) = k (1 - \frac{T_{1}}{T_{1} - T_{2}} e^{- \frac{t}{T_{1}}} + \frac{T_{2}}{T_{1} - T_{2}} e^{- \frac{t}{T_{2}}}) \cdot 𝟏 (t) .

G (j ω) = \frac{k}{(1 + j ω T_{1}) (1 + j ω T_{2})},

przyjmując $G (j ω) = P (ω) + j Q (ω)$ po przekształceniach, otrzymuje się:

P (ω) = \frac{k (1 - ω^{2} T_{1} T_{2})}{1 + (ω T_{1})^{2} + (ω T_{2})^{2} + (ω^{2} T_{1} T_{2})^{2}},

Q (ω) = \frac{- k ω (T_{1} + T_{2})}{1 + (ω T_{1})^{2} + (ω T_{2})^{2} + (ω^{2} T_{1} T_{2})^{2}} .

ϕ (ω) = arctg \frac{ω (T_{1} + T_{2})}{ω^{2} T_{1} T_{2} - 1} .