Iloczyn Eulera

Iloczyn Eulera, produkt Eulera (ang. Euler product) – sposób przedstawienia szeregu liczbowego w postaci nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych. W analitycznej teorii liczb jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od Leonharda Eulera, który po raz pierwszy przedstawił go dla funkcji zeta Riemanna.

Definicja

Niech $f$ będzie ograniczoną multiplikatywną funkcją arytmetyczną. Wówczas szereg Dirichleta

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

jest dla wszystkich $s$ takich, że $\mathrm{\Re }(s)>1$ równy

$\prod _p(1+\frac{f(p)}{p^s}+\frac{f(p^2)}{p^{2s}}+\dots )=\prod _p\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(p^k)}{p^{ks}},$

gdzie $\prod _p$ oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli $f$ jest całkowicie multiplikatywna, to występujące w iloczynie szeregi są geometryczne, a cały iloczyn ten jest równy

$\prod _p{(1-\frac{f(p)}{p^s})}^{-1}.$

Przykłady

Funkcja zeta Riemanna

Niech $\zeta$ będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako

$\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

dla dowolnej liczby zespolonej $s,$ przy $\mathrm{\Re }(s)>1.$ Wówczas

$\zeta (s)=\prod _p{(1-\frac{1}{p^s})}^{-1}.$

Z funkcją $\zeta$ związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\prod _p{(1+\frac{1}{p^s})}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s},$

gdzie $\lambda$ jest funkcją Liouville’a.

$\zeta (s)=\prod _p(1-\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

oraz

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\prod _p(1+\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s},$

gdzie $\mu$ to funkcja Möbiusa.

Funkcje L Dirichleta

Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s},$

gdzie $\chi$ jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module $q,$ a $s$ jest dowolną liczbą zespoloną z $\mathrm{\Re }(s)>1.$ Wtedy

$L(s,\chi )=\prod _p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}.$