Funkcja Liouville’a

Funkcja Liouville’a jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb. Swoją nazwę nosi od nazwiska francuskiego matematyka, Josepha Liouville’a. Przyjmuje ona wartość $1,$ gdy jej argument ma parzyście wiele dzielników pierwszych (licząc z wielokrotnościami), a $-1,$ gdy ma nieparzyście wiele.

Definicja

Funkcja Liouville’a $\lambda :\mathbb{N}\to \{-1,1\}$ dla $n$ o rozkładzie na czynniki pierwsze $p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k}$ jest zadana przez

$\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+e_2+\dots +e_k}.$

Równoważnie, z wykorzystaniem funkcji pierwszej omega, możemy zdefiniować

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}.$

Wykorzystanie

Za pomocą funkcji Liouville’a można opisać równanie funkcyjne dla funkcji zeta Riemanna,

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s},$

dla $\mathrm{\Re }(s)>1,$ a także dla funkcji L Dirichleta,

$\frac{L(2s,{\chi }^2)}{L(s,\chi )}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)\chi (n)}{n^s}$

na tym samym zbiorze.

Definiując funkcję sumującą Liouville’a $L(x)=\sum _{n⩽x}\lambda (n),$ z jej pomocą możemy zapisać równoważnie twierdzenie o liczbach pierwszych jako

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(x)}{x}=0.$