Funkcja pierwsza omega

Funkcja pierwsza omega, funkcja omega (ang. Omega prime function) – jedna z dwóch funkcji arytmetycznych zliczających dzielniki pierwsze danej liczby naturalnej. Pierwsza z nich, czyli $\omega$ zlicza dzielniki pierwsze bez wielokrotności, a druga, czyli $\mathrm{\Omega }$ zlicza je wraz z wielokrotnościami.

Jeśli $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k}$ jest rozkładem liczby $n$ na czynniki pierwsze, to

$\omega (n)=\omega (p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k})=k$

oraz

$\mathrm{\Omega }(n)=\mathrm{\Omega }(p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k})=e_1+e_2+\dots +e_k.$

Dla $n=1$ przyjmujemy $\omega (n)=\mathrm{\Omega }(n)=1.$

Własności

Funkcja $\omega$ jest addytywna, a $\mathrm{\Omega }$ jest całkowicie addytywna.

Pierwszą funkcję można zdefiniować jako

$\omega (n)=\sum _{p|n}1,$

tzn. sumowanie 1 po wszystkich dzielnikach pierwszych $n,$ a drugą

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }||n}\alpha ,$

gdzie zapis $p^{\alpha }||n$ oznacza, że $p^{\alpha }|n,$ ale $p^{\alpha +1}\mid ̸n.$

W ogólności zachodzi nierówność $\mathrm{\Omega }(n)⩾\omega (n),$ przy czym $\mathrm{\Omega }(n)=\omega (n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą bezkwadratową.

Powiązanie z innymi funkcjami arytmetycznymi

Za pomocą funkcji $\mathrm{\Omega }$ można zdefiniować funkcje Liouville’a i Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$ i dla każdej $n$ bezkwadratowej zachodzi $\mu (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}.$