Charakter Dirichleta

Przykład charakteru Dirichleta $\chi \text{mod}7$

W analitycznej teorii liczb funkcja arytmetyczna $\chi :\mathbb{N}\to ℂ$ nazywana jest charakterem Dirichleta modulo $q$, jeśli dla ustalonej liczby naturalnej $q$ i wszystkich liczb całkowitych $a,b$ spełnia warunki:

1. $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b),$ tzn. jest całkowicie multiplikatywna.
2. $\chi (a)\ne 0$ jeśli $(a,q)=1$ oraz $\chi (a)=0$ jeśli $(a,q)>1,$ gdzie $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik $x$ i $y.$
3. $\chi (a+q)=\chi (a)$ – ma okres $q.$

Najprostszym przykładem charakteru Dirichleta jest charakter pryncypialny, zadany przez

$\chi (a)=\{\begin{array}{c}1,(a,q)=1\\ 0,(a,q)>1.\end{array}$

Najczęściej jest on zapisywany jako ${\chi }_0$.

W ogólności, dla każdej liczby całkowitej $q>1$ istnieje dokładnie $\phi (q)$ (tocjent) różnych charakterów Dirichleta mod $q$. Są to ${\chi }_1,{\chi }_2,\dots ,{\chi }_{\phi (q)}$ (lub ${\chi }_0,{\chi }_1,\dots ,{\chi }_{\phi (q)-1}$) dane przez ${\chi }_r(n)=\exp \left(a\frac{2\pi i}{\phi (q)}\right)$ dla pewnej liczby całkowitej $a$ zależnej od $n$, $r$ i $q$ dla $(n,q)=1$ oraz ${\chi }_r(n)=0$ dla $(n,q)>1$.

Przykłady

Dla $q=7$ istnieje 6 różnych charakterów mod 7.

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
${\chi }_0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
${\chi }_1$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$-1$
${\chi }_2$	$0$	$1$	${\omega }^2$	$\omega$	$-\omega$	$-{\omega }^2$	$-1$
${\chi }_3$	$0$	$1$	${\omega }^2$	$-\omega$	$-\omega$	$-{\omega }^2$	$1$
${\chi }_4$	$0$	$1$	$-\omega$	${\omega }^2$	${\omega }^2$	$-\omega$	$1$
${\chi }_5$	$0$	$1$	$-\omega$	$-{\omega }^2$	${\omega }^2$	$\omega$	$-1$

Tutaj $\omega =\exp \left(\frac{2\pi i}{6}\right)=\exp \left(\frac{\pi i}{3}\right)$.

Własności

Przystawanie

Własnością oczywistą (wynikającą z okresowości) jest fakt, że jeśli $n\equiv m(\text{mod}q)$, to

$\chi (n)=\chi (m)$.

Twierdzenie odwrotne niekoniecznie musi być prawdziwe.

Tocjent

Jeśli $(n,q)=1$, to z twierdzenia Eulera wiadomo, że $n^{\phi (q)}\equiv 1(\text{mod}q)$, więc

$\chi (n{)}^{\phi (q)}=\chi \left(n^{\phi (q)}\right)=1$.

Ortogonalność

Charakterów Dirichleta dotyczą dwie relacje ortogonalności,

$\sum _{n=0}^{q-1}\chi (n)=\{\begin{array}{cc}\phi (q),& \chi ={\chi }_0\\ 0,& \chi \ne {\chi }_0\end{array}$

oraz

$\sum _{r=1}^{\phi (q)}{\chi }_r(n)=\{\begin{array}{cc}\phi (q),& n\equiv 1(\text{mod}q)\\ 0,& n\equiv ̸1(\text{mod}q)\end{array}$.

Ponadto, tożsamością wykorzystywaną najczęściej w dowodach twierdzeń jest

$\sum _{r=1}^{\phi (q)}{\chi }_r(n)\overline{{\chi }_r(m)}=\{\begin{array}{cc}\phi (q),& n\equiv m(\text{mod}q)\\ 0,& n\equiv ̸m(\text{mod}q)\end{array}$

Wykorzystanie

Ze względu na swoje własności, charaktery Dirichleta wykorzystywane są najczęściej w problemach dotyczących liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Funkcje L Dirichleta

Szablon:Osobny artykuł Ogromny wpływ na rozwój analitycznej teorii liczb mają funkcje L Dirichleta. Definiuje się je jako szereg

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$

dla danego charakteru $\chi$ i wszystkich liczb zespolonych $s$ na półpłaszczyźnie $\mathrm{\Re }(s)>1$ oraz jako rozszerzenie analityczne powyższej funkcji na reszcie płaszczyzny zespolonej. Każda funkcja L Dirichleta ma także swój iloczyn Eulera

$L(s,\chi )=\prod _p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}$.

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Szablon:Osobny artykuł Twierdzenie Siegela-Walfisza mówi o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Na potrzeby dowodu, definiuje się funkcję

$\psi (x,\chi )=\sum _{n⩽x}\chi (n)\mathrm{\Lambda }(n)$.

Dzięki relacji ortogonalności powyższa funkcja jest związana z drugą funkcją Czebyszewa równaniem

$\psi (x;q,a)=\frac{\psi (x,{\chi }_0)}{\phi (q)}+\frac{1}{\phi (q)}\sum _{\begin{array}{c}\chi (\text{mod}q)\\ \chi \ne {\chi }_0\end{array}}\overline{\chi (a)}\psi (x,\chi )$.

Twierdzenie mówi, że dla każdej stałej $N$ istnieje liczba $C_N$ taka, że dla $q⩽(\log x{)}^N$ i dowolnego niepryncypialnego charakteru $\chi \text{mod}q$ zachodzi

$|\psi (x,\chi )|=O\left(x{e}^{-C_n\sqrt{\log x}}\right)$.