Twierdzenie Siegela-Walfisza

Twierdzenie Siegela-Walfisza to twierdzenie analitycznej teorii liczb, udowodnione przez Arnolda Walfisza jako wniosek wynikający z twierdzenia Carla Siegela o liczbach pierwszych. Twierdzenie to jest silniejsze zarówno od twierdzenia o liczbach pierwszych, jak i twierdzenia Dirichleta.

Treść twierdzenia

Niech $\psi (x;q,a)$ będzie drugą funkcją Czebyszewa sumującą jedynie po $n\equiv a(\text{mod}q),$ tzn.

$\psi (x;q,a)=\sum _{\begin{array}{c}n⩽x\\ n\equiv a(\text{mod}q)\end{array}}\mathrm{\Lambda }(n),$

gdzie $\mathrm{\Lambda }$ oznacza funkcję von Mangoldta oraz niech $\phi$ oznacza tocjent Eulera. Wówczas dla dowolnej liczby rzeczywistej $N$ istnieje stała $C_N$ zależna jedynie od $N,$ taka, że dla dowolnych $(a,q)=1,$ jeżeli $q⩽(\log x{)}^N,$ to prawdziwa jest zależność asymptotyczna

$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O\left(\frac{x}{\exp \left(C_N\sqrt{\log x}\right)}\right).$

Postać dla funkcji $\pi (x;q,a)$

Twierdzenie Siegela-Walfisza można równoważnie zapisać przy pomocy funkcji liczącej liczby pierwsze $\pi (x;q,a)$ (rozumiemy przez nią liczbę liczb pierwszych $p⩽x$, $p\equiv a(\text{mod}q)$). Wówczas twierdzenie przybiera postać

$\pi (x;q,a)=\frac{\text{Li}(x)}{\phi (q)}+O\left(\frac{x}{\exp \left(\frac{C_N}{2}\sqrt{\log x}\right)}\right),$

gdzie $\text{Li}$ oznacza resztę logarytmu całkowego.