Czworościan

Przykład czworościanu

Inny przykład czworościanu

Czworościan – wielościan o czterech trójkątnych ścianach, równoważnie definiowany jako ostrosłup trójkątny. Każda taka bryła ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki.

Szczególne przypadki (odmiany) czworościanów to:

• ostrosłup trójkątny prawidłowy – co najmniej jedna ze ścian to trójkąt równoboczny, a pozostałe są równoramienne;
• czworościan foremny – szczególny przypadek powyższego, w którym wszystkie ściany są równoboczne.

Uogólnieniem czworościanu jest sympleks – czworościan to jego przypadek trójwymiarowy.

Wzory

Objętość

Jeśli czworościan – niekoniecznie foremny – ma wierzchołki $A_1,A_2,A_3,A_4,$ to jego objętość jest dana wzorem:

$V=\sqrt{\frac{\mathrm{\Delta }}{288}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\mathrm{\Delta }$ to wartość wyznacznika:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccccc}0& a_{12}^2& a_{13}^2& a_{14}^2& 1\\ a_{12}^2& 0& a_{23}^2& a_{24}^2& 1\\ a_{13}^2& a_{23}^2& 0& a_{34}^2& 1\\ a_{14}^2& a_{24}^2& a_{34}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right|,$

$a_{ij}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek $A_i$ z wierzchołkiem $A_j.$

Promień sfery opisanej

Jest opisany wzorem:

$R=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{\Delta }}},$

gdzie zmienna pomocnicza $\mathrm{\Gamma }$ to

$\mathrm{\Gamma }=\left|\begin{array}{cccc}0& a_{12}^2& a_{13}^2& a_{14}^2\\ a_{12}^2& 0& a_{23}^2& a_{24}^2\\ a_{13}^2& a_{23}^2& 0& a_{34}^2\\ a_{14}^2& a_{24}^2& a_{34}^2& 0\end{array}\right|.$

Promień sfery wpisanej

Można go obliczyć wzorem:

$r=\frac{3V}{S_{A_1}+S_{A_2}+S_{A_3}+S_{A_4}},$

gdzie $S_{A_i}$ to pole ściany niezawierającej wierzchołka $A_i.$

Inne własności

Przykładowe przekroje czworościanu z płaszczyznami – zacieniowane trójkąty

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli $A_1$ i $A_2,$ $B_1$ i $B_2$ oraz $C_1$ i $C_2$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów $S{A}_1{B}_1{C}_1$ i $S{A}_2{B}_2{C}_2$ spełniają zależność:

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S{A}_1}{S{A}_2}\frac{S{B}_1}{S{B}_2}\frac{S{C}_1}{S{C}_2}.$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: $S=ab\sin \alpha .$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld