Topologia zwarto-otwarta

Topologia zwarto-otwarta jest topologią na zbiorze $Y^X$ wszystkich przekształceń ciągłych z przestrzeni topologicznej $X$ do przestrzeni $Y.$ Jej genezą było poszukiwanie takiej topologii na zbiorze $Y^X$ lub na jakimś wyróżnionym zbiorze $F$ ciągłych przekształceń $f:X\to Y,$ przy której wyrażenie $f(x)$ jest funkcją ciągłą względem obu zmiennych: zmiennej $x\in X$ i zmiennej $f\in F.$ Innymi słowy, chodzi o taką topologię na $F,$ aby odwzorowanie $(f,x)\mapsto f(x)$ było ciągłe względem topologii produktowej na $F\times X$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Definicje

Załóżmy, że $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, a $Y^X$ jest zbiorem wszystkich przekształceń ciągłych z $X$ w $Y.$ Jedną z topologii na zbiorze $Y^X$ jest topologia zbieżności punktowej ${𝒯}_{𝓅},$ której bazą zbiorów otwartych jest rodzina wszystkich zbiorów postaci

$U=\bigcap _{i=1}^n\{f\in Y^X\mid f(A_i)\subseteq B_i\},$

gdzie każdy $A_i$ jest podzbiorem skończonym przestrzeni $X,$ a $B_i$ jest zbiorem otwartym w $Y$Szablon:OdnSzablon:Odn. Zbiór $Y^X$ można też interpretować jako nieskończoną potęgę kartezjańską, produkt jednakowych czynników. Topologia zbieżności punktowej jest topologią indukowaną przez topologię produktową na iloczynie kartezjańskim $\underset{x\in X}{\mathrm{P}}{Y}_x,$ w którym $Y_x=Y$ dla każdego $x\in X.$ Topologia ${𝒯}_{𝓅}$ jest jednoznacznie wyznaczona przez topologię w $Y,$ natomiast od topologii przestrzeni $X$ zależy jedynie zbiór funkcji należących do $Y^X.$

Silniejsza od ${𝒯}_{𝓅}$ jest topologia zwarto-otwarta ${𝒯}_{𝒸\mathcal{-}ℴ},$ w której bazą zbiorów otwartych są analogiczne iloczyny $U$ z tym, że teraz każdy $A_i$ jest podzbiorem zwartym przestrzeni $X$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Topologia ${𝒯}_{𝒸\mathcal{-}ℴ}$ zależy od obu topologii: od topologii w $Y$ i topologii w $X.$ Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ przestrzenią metryczną, to topologia zwarto-otwarta przestrzeni $Y^X$ jest identyczna z topologią zbieżności jednostajnejSzablon:OdnSzablon:Odn. Jeżeli zaś obie przestrzenie $X,Y$ są metryczne, to w przestrzeni $Y^X$ można wprowadzić metrykę zbieżności jednostajnej, której topologia, zwana też topologią naturalną na $Y^X,$ jest identyczna z topologią zwarto-otwartą.

Kanoniczna bijekcja

Załóżmy, że $X,Y,Z$ są przestrzeniami topologicznymi, a symbol $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,Y)$ oznacza przestrzeń $Y^X$ z topologią zwarto-otwartą. Rozważmy kanoniczne odwzorowanie

$\mathrm{\Gamma }:\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X\times Y,Z)\to \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(Y,Z))$

przyporządkowujące każdej funkcji $f:X\times Y\to Z$ funkcję $g:X\to Z^Y,$ która z kolei każdemu $x\in X$ przyporządkowuje funkcję $g_x:Y\to Z$ określoną wzorem $g_x(y)=f(x,y).$ Jeżeli przestrzeń $Y$ jest lokalnie zwarta, a X jest przestrzenią Hausdorffa, to $\mathrm{\Gamma }$ jest bijekcją i homeomorfizmemSzablon:Odn.

Szczególnie doniosły (zwłaszcza dla teorii homotopii) jest przypadek, gdy w tym homeomorfizmie za $Y$ podstawimy sferę n-wymiarową ${𝐒}^n(n⩾0)$ i rozważymy przestrzenie topologiczne $X_{x^{\diamond }}$ z wyróżnionymi punktami bazowymi $x^{\diamond }\in X.$ Przez $\mathrm{M}\mathrm{a}{\mathrm{p}}_{\mathrm{*}}(X_{x^{\diamond }},Y_{y^{\diamond }})$ oznaczmy podprzestrzeń domkniętą (w topologii zwarto-otwartej) przestrzeni $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{p}(X,Y)$ utworzoną z funkcji zachowujących punkty bazowe. Dla $n=1$ otrzymujemy homeomorfizm

$\mathrm{M}\mathrm{a}{\mathrm{p}}_{\mathrm{*}}(\mathrm{\Sigma }{X}_{x^{\diamond }},Z_{z^{\diamond }})\to \mathrm{M}\mathrm{a}{\mathrm{p}}_{\mathrm{*}}(X_{x^{\diamond }},\mathrm{\Omega }{Z}_{x^{\diamond }}),$

w którym występuje zredukowane zawieszenie $\mathrm{\Sigma }(X_{x^{\diamond }})$ homeomorficzne z ${𝐒}^{\mathrm{𝟏}}\wedge X_{x^{\diamond }},$ produktem ściągniętym przestrzeni ${𝐒}^1$ i $X_{x^{\diamond }}$ oraz przestrzeń pętli $\mathrm{\Omega }(Z_{z^{\diamond }})=\mathrm{M}\mathrm{a}{\mathrm{p}}_{\mathrm{*}}({𝐒}^1,Z_{z^{\diamond }}).$ Jest to naturalna równoważność funktorówSzablon:Odn. Stała się ona punktem wyjścia dualności Eckmanna-HiltonaSzablon:Fakt

Zobacz też

• funktory sprzężone

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Stefan Jackowski, Topologie w przestrzeniach odwzorowań, wykład dla studentów Wydziału MIM UW, https://www.mimuw.edu.pl/~sjack/Topologia_I/przestrzenie_odwzorowan.pdf