Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych $V$ i $W$ nad tym samym ciałem $K$ to para $(Z,\otimes ),$ gdzie $Z$ to przestrzeń liniowa nad ciałem $K,$ a $\otimes :V\times W\to Z$ to przekształcenie dwuliniowe dane wzorem $(v,w)\mapsto v\otimes w,$ które nazywamy iloczynem tensorowym, przy czym spełniona jest tzw. własność uniwersalności. Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu.

Definicja

Niech $V,W$ będą dowolnymi przestrzeniami liniowymi. Przestrzeń liniową $Z$ wraz z przekształceniem dwuliniowym $\theta :V\times W\to Z$ nazwiemy iloczynem tensorowym przestrzeni $V$ i $W,$ jeżeliSzablon:Odn:

(1) Obraz $\theta (V\times W)$ rozpina przestrzeń $Z.$

(2) Dla każdego przekształcenia dwuliniowego $\phi :V\times W\to U$ (w dowolną przestrzeń liniową $U$) istnieje przekształcenie liniowe $\lambda :Z\to U$ takie, że $\phi =\lambda \circ \theta .$

Przestrzeń liniową $Z$ oznaczamy $V\otimes W,$ a przekształcenie $\theta$ oznaczamy $\otimes$ i nazywamy iloczynem tensorowym.

Innymi słowy, iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych to jedyna z dokładnością do izomorfizmu taka przestrzeń liniowa $Z$ wraz z przekształceniem dwuliniowym $\theta ,$ że poniższy diagram jest przemienny.

Tę własność iloczynu tensorowego nazywa się własnością uniwersalności.

Konstrukcja iloczynu tensorowego

Definicja iloczynu tensorowego jest niekonstruktywna i nie rozstrzyga, czy iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych w ogóle istnieje. Okazuje się, że iloczyn tensorowy dowolnych przestrzeni liniowych $V$ i $W$ nad ciałem $K$ istnieje i może zostać skonstruowany w następujący sposóbSzablon:OdnSzablon:Odn. Niech $Y:=\underset{V\times W}{⨁}K$ będzie przestrzenią liniową nad $K$ generowaną przez $V\times W$. Elementami $Y$ są funkcje postaci $f:V\times W\to K$ o skończonym nośniku (tzn. przyjmujące niezerowe wartości tylko dla skończonej liczby par $(v,w)\in V\times W$). W $Y$ dla dowolnych $v,v_1,v_2\in V,w,w_1,w_2\in W,\alpha ,\beta \in K$ wybieramy podprzestrzeń liniową $X$ rozpiętą przez funkcje postaci

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}-{\delta }_{(v_1,w)}-{\delta }_{(v_2,w)},$

${\delta }_{(\alpha v,w)}-\alpha {\delta }_{(v,w)},$

${\delta }_{(v,w_1+w_2)}-{\delta }_{(v,w_1)}-{\delta }_{(v,w_2)},$

${\delta }_{(v,\beta w)}-\beta {\delta }_{(v,w)},$

gdzie ${\delta }_{(a,b)}\in Y$ dla $(a,b)\in V\times W$ to funkcja dana wzorem

${\delta }_{(a,b)}(v,w):=\{\begin{array}{cc}1,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}(v,w)=(a,b),\\ 0,& \mathrm{g}\mathrm{d}\mathrm{y}(v,w)\ne (a,b).\end{array}$

Przestrzeń ilorazowa $V\otimes W:=Y/X$ wraz z działaniem danym wzorem

$v\otimes w:={\delta }_{(v,w)}+X$

jest iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych $V$ i $W.$

Uwagi do konstrukcji

(1) Powyższa konstrukcja jest standardową konstrukcją iloczynu tensorowego i bardzo często jest podawana jako definicja.

(2) Funkcje ${\delta }_{(a,b)}$ są najczęściej oznaczane $(a,b)$ i utożsamiane z $(a,b)\in V\times W.$

(3) $v\otimes w={\delta }_{(v,w)}+X$ jest zbiorem, elementem rodziny zbiorów $Y/X.$

(4) $Y:=\underset{V\times W}{⨁}K$ nie jest dobrym kandydatem na iloczyn tensorowy $V\otimes W,$ gdyż jest przestrzenią liniową nieskończenie wiele wymiarową nawet gdy $V,$ $W$ są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi. Jest więc zdecydowanie zbyt bogata na nasze potrzeby, chcemy bowiem, aby $\dim (V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.$

(5) $v\otimes w:={\delta }_{(v,w)}$ jest kandydatem na iloczyn tensorowy. Niestety tak zdefiniowany iloczyn tensorowy nie byłby działaniem dwuliniowym, gdyż np.

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}\ne {\delta }_{(v_1,w)}+{\delta }_{(v_2,w)}.$

(6) Chcielibyśmy, aby zachodziły równości

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}={\delta }_{(v_1,w)}+{\delta }_{(v_2,w)},$

${\delta }_{(\alpha v,w)}=\alpha {\delta }_{(v,w)}$

itd. Zachodzenie tych równości można wymusić, biorąc odpowiednią przestrzeń ilorazową $B/A.$

(7) Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli $A$ jest podmodułem modułu $B,$ to w module ilorazowym $B/A:=\{x+A;x\in B\}$ dla $a\in A$ mamy

$a+A=\{a+y;y\in A\}=\{y;y\in A\}=A=0+A,$

czyli w module ilorazowym $B/A$ elementy $A$ są zlepione do zera.

(8) Równości

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}={\delta }_{(v_1,w)}+{\delta }_{(v_2,w)}$

itd. zachodzą w przestrzeni ilorazowej $Y/X.$ Istotnie, ponieważ

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}-{\delta }_{(v_1,w)}-{\delta }_{(v_2,w)}\in X,$

to w związku z tym co zostało powiedziane powyżej

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}-{\delta }_{(v_1,w)}-{\delta }_{(v_2,w)}+X=0+X.$

Innymi słowy

${\delta }_{(v_1+v_2,w)}+X={\delta }_{(v_1,w)}+{\delta }_{(v_2,w)}+X.$

(9) W związku z powyższym $\otimes$ zdefiniowane wzorem

$v\otimes w:={\delta }_{(v,w)}+X$

jest już działaniem dwuliniowym, tak jak powinno być.

(10) Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest zdefiniowany niejednoznacznie i jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W związku z tym w konkretnych zastosowaniach iloczyn tensorowy może być skonstruowany inaczej niż w konstrukcji z poprzedniej sekcji, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych $V$ i $W$ (patrz: Przykłady).

(11) W analogiczny sposób może zostać skonstruowany iloczyn tensorowy modułów.

Baza i wymiar iloczynu tensorowego

Jeżeli przestrzenie liniowe $V,$ $W$ są skończeniewymiarowe, to ich bazy $(v_i{)}_{i=1}^r,$ $(w_i{)}_{i=1}^s$ indukują bazę iloczynu $V\otimes W$ postaci

$\{v_i\otimes w_j;i=1,\dots ,r,j=1,\dots ,s\}.$

W szczególności wynika z tego, że każdy element $t\in V\otimes W$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

$t=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^s{t}_{i,j}{v}_i\otimes w_j$

dla pewnych skalarów $t_{i,j}.$

Wynika z tego także, że jeżeli przestrzenie $V$ i $W$ są skończeniewymiarowe, to

$\dim (V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.$

Własności iloczynu tensorowego

(1) Przestrzenie liniowe $V\otimes W$ i $W\otimes V$ są naturalnie izomorficzne, tzn.

$V\otimes W\cong W\otimes V.$

Jednakże $v\otimes w\ne w\otimes v$ dla $v\ne w$ już nawet, gdy $V=W.$ Wynika to z tego, że w ogólności

${\delta }_{(v,w)}\ne {\delta }_{(w,v)}.$

(2) Przestrzenie $(U\otimes V)\otimes W$ i $U\otimes (V\otimes W)$ są naturalnie izomorficzne. Pozwala to na pisanie po prostu $U\otimes V\otimes W.$

(3) Jeżeli $V$ i $W$ są skończeniewymiarowe, to

$\dim (V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W.$

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych

Iloczyn tensorowy dowolnej liczby przestrzeni liniowych $V_1,\dots ,V_n$ definiujemy w sposób indukcyjny

$V_1\otimes \dots \otimes V_n:=(V_1\otimes \dots \otimes V_{n-1})\otimes V_n.$

Przykłady

Iloczyn tensorowy jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W konkretnych przypadkach iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych można skonstruować inaczej, niż to zostało pokazane w sekcji o konstrukcji iloczynu tensorowego, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych, co pokazują następujące przykłady.

(1) Niech $V:={ℂ}^m,W:={ℂ}^n.$ Iloczynem tensorowym $V$ i $W$ nazwiemy $V\otimes W:={ℂ}^{m\cdot n}$ z iloczynem zdefiniowanym następująco

$(v_i{)}_{i=1}^m\otimes (w_j{)}_{j=1}^n=(v_1,\dots ,v_m)\otimes (w_1,\dots ,w_n):=(v_i\cdot w_j{)}_{\stackrel{i=1,\dots ,m}{j=1,\dots ,n}}.$

(2) W szczególności, gdy przykładowo $V:={ℂ}^2,W:={ℂ}^3,$ to iloczynem tensorowym $V\otimes W$ jest ${ℂ}^6$ z iloczynem zdefiniowanym jako

$(v_1,v_2)\otimes (w_1,w_2,w_3):=(v_1{w}_1,v_2{w}_1,v_1{w}_2,v_2{w}_2,v_1{w}_3,v_2{w}_3)$

lub też w zapisie kolumnowym

$(v_1{v}_2{)}^T\otimes (w_1{w}_2{w}_3{)}^T:=(v_1{w}_1{v}_2{w}_1{v}_1{w}_2{v}_2{w}_2{v}_1{w}_3{v}_2{w}_3{)}^T.$

(3) Niech $S$ będzie dowolnym zbiorem, a ${ℂ}^S$ niech oznacza zbiór funkcji postaci $f:S\to ℂ$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo, tzn.

$(f+g)(s):=f(s)+g(s),(\alpha \cdot f)(s):=\alpha \cdot f(s)$

dla $\alpha \in ℂ.$ ${ℂ}^S$ z tak zdefiniowanymi działaniami tworzy przestrzeń liniową.

Niech $S,T$ będą dowolnymi zbiorami. Iloczyn tensorowy przestrzeni $V:={ℂ}^S$ i $W:={ℂ}^T$ definiujemy jako $V\otimes W:={ℂ}^{S\times T}$ z iloczynem zdefiniowanym wzorem

$(f\otimes g)(s,t):=f(s)\cdot g(t).$

(4) (Iloczyn tensorowy form wieloliniowych) Niech $U$ będzie dowolną przestrzenią liniową. Niech $T^k(U)$ oznacza przestrzeń liniową form $k$-liniowych na $U$ z działaniami zdefiniowanymi punktowo. Iloczyn tensorowy przestrzeni $V:=T^k(U)$ i $W:=T^l(U)$ definiujemy jako $V\otimes W:=T^{k+l}(U)$ z iloczynem danym wzorem

$(S\otimes T)(u_1,\dots ,u_k,u_{k+1},\dots ,u_{k+l}):=S(u_1,\dots ,u_k)\cdot T(u_{k+1},\dots ,u_{k+l}).$

Zobacz też

• moduł wolny generowany przez zbiór
• przestrzeń ilorazowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Clifford algebra, geometric algebra, and applications