Grupa abelowa wolna

Grupa abelowa wolna – grupa abelowa będąca zarazem algebrą wolną. Grupa abelowa jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa o współczynnikach całkowitych elementów tego zbioru. Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowych, zbiór taki nazywany jest bazą. Z punktu widzenia teorii modułów, grupy abelowe wolne są modułami wolnymi nad pierścieniem liczb całkowitych.

Własności

• Grupy abelowe wolne są algebrami wolnymi, a więc w szczególności każde dwie bazy abelowej grupy wolnej są równoliczne. Moc dowolnej bazy grupy abelowej wolnej nazywamy jej rangą.
• Dla każdej liczby kardynalnej $\kappa$ istnieje grupa abelowa wolna rangi $\kappa .$
• Niech $G$ będzie grupą abelową wolną oraz $A$ grupą abelową. Jeżeli istnieje epimorfizm $h:A\to G,$ to istnieje podgrupa $F$ grupy $A$ izomorficzna z grupą $G$ taka, że $A=F\oplus \ker h.$
• Każda grupa abelowa $A$ jest obrazem homomorficznym pewnej grupy abelowej wolnej. Ponadto, jeśli grupa $A$ ma zbiór generatorów mocy $\kappa ,$ to jest ona obrazem homomorficznym grupy abelowej wolnej rangi $\kappa .$ Twierdzenie to pociąga wniosek, że każda grupa abelowa jest izomorficzna z grupą ilorazową pewnej grupy abelowej wolnej.
• Podgrupa grupy abelowej wolnej jest wolną grupą abelową.

Przykłady

• Grupa $\mathbb{Z}$ liczb całkowitych z dodawaniem. Bazami tej grupy są zbiory $\{1\},\{-1\}.$
• Suma prosta $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z},$ na mocy indukcji matematycznej przykład ten uogólnia się na skończoną rodzinę grup izomorficznych z $\mathbb{Z}.$
• Grupa addytywna pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Bazą tej grupy jest np. zbiór $\{1,x,x^2,x^3,\dots \}.$
• Zewnętrzna suma prosta dowolnej rodziny grup abelowych wolnych jest grupą abelową wolną.
• Grupa Baera-Speckera, czyli iloczyn przeliczalnie wielu egzemplarzy $\mathbb{Z}$ nie jest abelową grupą wolną, jednak każda jej przeliczalna podgrupa jest.