Wariancja

Wariancja – miara zmienności zmiennej losowej będąca wartością oczekiwaną kwadratu różnicy wartości zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanejSzablon:R. W statystyce opisowej obliczana jest jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniejSzablon:R.

Wariancja zmiennej losowej $X,$ oznaczana jako $\mathrm{Var}[X]$ lub $D^2(X),$ zdefiniowana jest wzoremSzablon:R:

$\mathrm{Var}[X]=E[(X-\mu {)}^2],$

gdzie:

$E[\dots ]$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,

$\mu$ jest wartością oczekiwaną zmiennej $X.$

Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:

$D^2(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2.$

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto $𝔼X^2⩽\mathrm{\infty }$ oraz $𝒢$ jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

$\mathrm{Var}(X|𝒢):=𝔼((X-ℰ(X|𝒢){)}^2\left|𝒢\right).$

Statystyka opisowa

Jako jedna z najpopularniejszych miar w statystyce opisowej służąca do opisu danego kompletnego zbioru danychSzablon:R, wariancja zdefiniowana jest dla zbioru obserwacji z cechą $x$ wzoremSzablon:R:

$S^2(x)=\frac{\sum _{i=1}^N(x_i-\bar{x}{)}^2}{N},$

gdzie $\bar{x}$ oznacza średnią wartość cechy, a $N$ liczebność zbioru.

Wyrażona jest w jednostkach miary badanej cechy podniesionych do kwadratuSzablon:R.

Dane pogrupowane

W przypadku obliczania wariancji dla danych pogrupowanych w postaci szereg rozdzielczego punktowego, wykorzystuje się wzorySzablon:R:

$S^2(x)=\frac{\sum _{i=1}^k(x_i-\bar{x}{)}^2\cdot n_i}{n}=\frac{\sum _{i=1}^k{x}_i^2\cdot n_i}{n}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}},$

gdzie $k$ oznacza liczbę klas szeregu punktowego, $n_i$ – liczebność i-tej klasy, a $n$ – liczebność całej zbiorowości (odpowiednik $N$ we wzorze powyżej).

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego za wartość $x$ przyjmuje się środki poszczególnych przedziałów $(\stackrel{.}{x})$Szablon:R:

$S^2(x)=\frac{\sum _{i=1}^k({\stackrel{.}{x}}_i-\bar{x}{)}^2\cdot n_i}{n}=\frac{\sum _{i=1}^k{\stackrel{.}{x}}_i^2\cdot n_i}{n}-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{x}}.$

Ze względu na przyjęcie jako reprezentacji przedziałów wartości środkowych $\stackrel{.}{x},$ wariancja liczona według powyższego wzoru jest przybliżeniem wariancji dla danych kompletnychSzablon:R.

Estymatory

Wariancja próby losowej o wartościach $x_i,$ gdzie $i=1,2,3,\dots ,$ jest następująca:

${\sigma }^2=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2.$

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2$

jest zgodnym, lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(x_i-\bar{x})}^2.$

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną $\mu$ w populacji, wówczas estymator

$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\mu )}^2$

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancji

Dla zmiennych losowych $X,$ $Y$ i dowolnych stałych $a,b,c$ zachodzą następujące własności:

1. $D^2(c)=0$

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:

$D^2(c)=E[(c-Ec{)}^2]=E[0^2]=E[0]=0.$

2. $D^2(X)⩾0$

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa $(X-EX{)}^2$ jest dodatnio określona, mamy:

$D^2(X)=E[(X-EX{)}^2]⩾0.$

3. $D^2(a\cdot X)=a^2\cdot D^2(X)$

Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:

$\begin{array}{cc}& D^2(a\cdot X)\\ =& E[(aX-E(aX){)}^2]\\ =& E[(aX-aEX{)}^2]\\ =& E[(a(X-EX){)}^2]\\ =& E[a^2(X-EX{)}^2]\\ =& a^{2}E[(X-EX{)}^2]\\ =& a^2\cdot D^2(X).\end{array}$

4. $D^2(X+b)=D^2(X)$

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że $Ec=c$ dla $c$ stałej i z liniowości:

$\begin{array}{cc}& D^2(X+b)\\ =& E[(X+b-E(X+b){)}^2]\\ =& E[(X+b-EX-Eb{)}^2]\\ =& E[(X+b-EX-b{)}^2]\\ =& E[(X-EX{)}^2]\\ =& D^2(X).\end{array}$

5. $D^2(X\pm Y)=D^2(X)+D^2(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$ w ogólnym przypadku; (gdzie $\mathrm{Cov}(X,Y)$ to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:

$\begin{array}{cc}& D^2(X+Y)\\ =& E[(X+Y-E(X+Y){)}^2]\\ =& E[(X+Y-EX-EY{)}^2]\\ =& E[((X-EX)+(Y-EY){)}^2]\\ =& E[(X-EX{)}^2+2(X-EX)(Y-EY)+(Y-EY{)}^2]\\ =& \dots \end{array}$

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:

$\begin{array}{cc}\dots =& E[(X-EX{)}^2]+2E[(X-EX)(Y-EY)]+E[(Y-EY{)}^2]\\ =& D^2(X)+D^2(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y).\end{array}$

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne $X$ i $Y$ są niezależne, zachodzi:

$D^2(X\pm Y)=D^2(X)+D^2(Y).$

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz też

• analiza wariancji
• błąd średniokwadratowy
• kowariancja
• test dla wariancji
• wariancja fenotypowa

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę