Algebra Clifforda

Algebra Clifforda formy kwadratowej $Q:V\to K$ to para $(C,j),$ gdzie $C$ jest algebrą nad $K,$ a $j:V\to C$ przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego $v\in V$)

$(j(v){)}^2=Q(v)e_0,$

gdzie $e_0\in C$ jest elementem neutralnym mnożenia w $C.$ Oznacza się ją $C\ell (V,Q).$

Algebra Clifforda stanowi uogólnienie liczb zespolonych, kwaternionów i wielu innych podobnych konstrukcji algebraicznych.

Definicja

Algebra Clifforda formy kwadratowej $Q:V\to K$ to para $(C,j),$ gdzie $C$ jest algebrą nad $K,$ a $j:V\to C$ przekształceniem liniowym, taka że (dla każdego $v\in V$)

$(j(v){)}^2=Q(v)e_0,$

gdzie $e_0\in C$ jest elementem neutralnym mnożenia w $C,$ przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: dla każdej algebry $A$ nad ciałem $K$ i dla każdego przekształcenia liniowego $i:V\to A,$ które spełnia równanie

$(i(v){)}^2=Q(v){e_0}^{\prime }$

(dla każdego $v\in V$) istnieje dokładnie jeden homomorfizm algebr $h:C\to A,$ taki że $i=h\circ j,$ tzn. taki, że poniższy diagram

jest przemienny.

Uwagi

(1) Ponieważ każdej formie kwadratowej $Q:V\to K$ odpowiada wzajemnie jednoznacznie symetryczna forma dwuliniowa $F:V\times V\to K$ taka, że $Q(v)=F(v,v),$ to równość z definicji można zapisać także

$(j(v){)}^2=F(v,v)e_0.$

(2) Rozpisując z jednej strony

$F(v+w,v+w)=F(v,v)+F(w,w)+2F(v,w),$

a z drugiej strony

$(j(v+w){)}^2=(j(v)+j(w){)}^2=(j(v){)}^2+(j(w){)}^2+j(v)j(w)+j(w)j(v)$

i usuwając zbędne wyrazy, dostaje się

$j(v)j(w)+j(w)j(v)=2F(v,w)e_0.$

(3) Formę kwadratową $Q$ na skończenie wymiarowej przestrzeni $V$ z wymiarem równym $n=p+q$ da się zawsze sprowadzić do postaci

$Q(v)=F(v,v)=\sum _{i,j=1}^n{\eta }_{i,j}{v}_i{v}_j=v_1^2+\dots +v_p^2-v_{p+1}^2-\dots -v_{p+q}^2,$

gdzie ${\eta }_{i,j}=\pm 1$ dla $i=j$ i $0$ poza tym.

W bazie $(e_i),$ w której $Q,$ ma to przedstawienie mamy (oznaczając $j(v)$ przez $v$)

$e_i{e}_j+e_j{e}_i=2{\eta }_{i,j}{e}_0.$

Z tego powodu algebrę Clifforda formy $Q:V\to K$ oznacza się też $C{\ell }_{p,q}(K).$

(4) Wektory z $V$ utożsamia się z ich obrazami w $j(V)$ i bardzo często pisze się $v$ zamiast $j(v).$ Wektory z $C\ell (V,Q)$ rozpięte przez $e_0$ utożsamia się z elementami ciała $K.$

Baza i wymiar

Jeżeli przestrzeń liniowa $V$ jest skończenie wymiarowa z wymiarem równym $n$ z bazą $(e_i)$ to bazę algebry Clifforda $C\ell (V,Q)$ stanowią $e_0$ oraz iloczyny ($j(v)$ oznaczamy przez $v$)

$e_{i_1}\dots e_{i_k}$

gdzie $1⩽i_1<\dots <i_k⩽n,1⩽k⩽n$Szablon:Odn.

Wynika z tego, że wymiar algebry Clifforda wynosi

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n.$

Konstrukcja algebry Clifforda

Szablon:Zobacz też Definicja algebry Clifforda jest abstrakcyjna i niekonstruktywna, jednakże algebra Clifforda dowolnej formy kwadratowej $Q:V\to K$ może zostać skonstruowana w następujący sposóbSzablon:Odn. Niech $\otimes V:=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{V}^{\otimes k}$ będzie algebrą tensorową. $V^{\otimes k}:=V\otimes \dots \otimes V$ oznacza tutaj $k$-krotny iloczyn tensorowy $V$ $(V^{\otimes 0}:=K).$ W $\otimes V$ wybieramy ideał $I$ generowany przez tensory postaci $v\otimes v-Q(v)e_0.$ Algebrę $C$ definiujemy jako iloraz

$C:=\otimes V/I.$

$C$ wraz z naturalnym włożeniem $j:V\to C$ danym wzorem

$j(v):=v+I$

jest algebrą Clifforda $C\ell (V,Q).$

Przykłady

(1) Liczby zespolone tworzą trywialną algebrę Clifforda $C{\ell }_{0,1}(ℝ).$ Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech $V=ℝ.$ Połóżmy $C:={ℝ}^2.$ Oznaczamy $i:=(0,1)$ i kładziemy $i^2=-1.$ Przekształcenie liniowe $j:V\to C$ jest dane wzorem

$j(x)=(0,x)=xi.$

Mamy

$(j(v){)}^2=(vi{)}^2=-v^2,$

a zatem forma $Q:V\to ℝ$ jest dana wzorem

$Q(x)=-x^2.$

(2) Kwaterniony są algebrą Clifforda $C{\ell }_{0,2}(ℝ).$ Mogą zostać skonstruowane w następujący sposób. Niech $V={ℝ}^2.$ Połóżmy $C:={ℝ}^4.$

Oznaczmy $i:=(0,1,0,0),j:=(0,0,1,0),k:=(0,0,0,1)$ i połóżmy

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$

Te związki pozwalają już znaleźć iloczyn każdych dwóch wektorów z $C.$

Przekształcenie liniowe $j:V\to C$ jest dane wzorem

$j(x,y)=(0,x,y,0)=xi+yj.$

Mamy

$(j(v){)}^2=(j(x,y){)}^2=(xi+yj{)}^2=x^2{i}^2+y^2{j}^2+xyij+xyji=-x^2-y^2.$

Forma kwadratowa $Q:V\to ℝ$ jest zatem dana wzorem

$Q(x,y)=-x^2-y^2.$

(3) Rozpatrzmy $2$-wymiarową podprzestrzeń ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{2\times 2}(ℝ)$ złożoną z macierzy postaci $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right).$ Nazwijmy ją $V.$ Jej bazę stanowią macierze $e_1:=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ i $e_2:=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$ Mamy

$e_3:=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$

Za $C$ przyjmujemy algebrę rozpiętą przez $e_1,e_2,e_3$ i macierz jednostkową $e_0=\mathrm{1}$ ze zwykłym mnożeniem macierzowym. Mamy

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)=(a^2+b^2)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

a zatem $C$ wraz z $j:={\mathrm{i}\mathrm{d}}_V,$ jest algebrą Clifforda formy kwadratowej $Q:V\to ℝ$ danej wzorem

$Q(v)=Q\left(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)\right)=a^2+b^2.$

(4) Szablon:Zobacz też

• Liczby podwójne to algebra Clifforda $C{\ell }_{1,0}(ℝ).$
• Kokwaterniony to algebra Clifforda $C{\ell }_{1,1}(ℝ)$ albo $C{\ell }_{2,0}(ℝ).$
• Bikwaterniony to algebra Clifforda $C{\ell }_{0,3}(ℝ).$
• Liczby dualne to algebra Clifforda zdegenerowanej formy $Q$ tzn. równej tożsamościowo zero.

Zobacz też

• algebra tensorowa
• algebra zewnętrzna
• iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Wybrane zagadnienia algebry
• Szablon:Otwarty dostęp Clifford algebra Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].