Przestrzeń ośrodkowa
Przestrzeń topologiczna ośrodkowa – przestrzeń topologiczna zawierająca taki podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty[1]. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiemSzablon:Fakt.
Ten sam zbiór może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii Np. zbiór liczb rzeczywistych
- tworzy przestrzenią ośrodkową z topologią generowaną przez metrykę euklidesową – ośrodkiem jest zbiór liczb wymiernych,
- nie tworzy przestrzeni ośrodkowej z topologią dyskretną (każdy punkt w tej topologii jest zbiorem otwartym).
Podstawowe własności
- Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
- Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń posiada bazę przeliczalną.
- Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. (Założenie metryzowalności jest istotne – produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.)
- Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
- Iloczyn kartezjański maksymalnie wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
- Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
- Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż gdzie to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat Istotnie niech będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn. jest skończony Wówczas jest przestrzenią w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie dowolnej mocy.