Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego jest samopodobny

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz: Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru została podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku.

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się (bez boków), a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy (bez boków), a wobec pozostałych trójkątów czynności się powtarzają. Po każdym powtórzeniu tej operacji z figury zostają usunięte pewne punkty. Punkty, które nie zostaną usunięte, tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można także utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno jego nieparzyste liczby.

Definicja formalna

Trójkąt Sierpińskiego

Niech $T$ będzie trójkątem ABC.

• Dzieląc $T$ na cztery mniejsze trójkąty $T_1,T_2,T_3$ i $S_0,$ gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta $S_0,$ traktując $S$ jako zbiór otwarty, a trójkąty $T_i$ za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne: $S$ i $T_1\cup T_2\cup T_3.$ Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np. $T_1\cap T_2$ zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
• Każdy trójkąt $T_i$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T_{i,1},T_{i,2},T_{i,3}$ i $S_i$ w podobny sposób.
• Każdy trójkąt $T_{i,j}$ dzieli się na cztery mniejsze trójkąty $T_{i,j,1},T_{i,j,2},T_{i,j,3}$ i $S_{i,j},$ i tak dalej.

Trójkąt Sierpińskiego ${\mathrm{\Delta }}_S$ zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru

$S=S_0\cup (S_1\cup S_2\cup S_3)\cup (S_{11}\cup \cdots )\cup \cdots$

tj. ${\mathrm{\Delta }}_S={\mathrm{\Delta }}_{ABC}\setminus S.$ Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym jako różnica zbioru domkniętego ${\mathrm{\Delta }}_{ABC}$ i zbioru otwartego $S.$ Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym, Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi ${\log }_{2}3=1,585\dots$

Reprezentacja cyfrowa

Każdy ciąg $(a_0,a_1,\dots )$, gdzie $a_i\in \{1,2,3\}$, określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze $T\cap T_{a_0}\cap T_{a_0,a_1}\cap \cdots .$ Odwrotnie, dla każdego punktu $P$ można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu $P.$ Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju $T_1\cap T_2$ ma reprezentację $(1,2,2,2,\dots )$ i jednocześnie reprezentację $(2,1,1,1,\dots ).$

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos

Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos. Narysujmy trójkąt równoboczny ABC i definiujmy D₀ := punkt A. Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między D_n i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez D_n+1. Każdy punkt D_n będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D₀, D₁,...}.

Jeśli wybieramy D₀ nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D₀ należy do trójkąta ABC, ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt D_n do tego trójkąta nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D₀, D₁,...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też

• dywan Sierpińskiego
• fraktal
• gra w chaos
• kostka Mengera
• piramida Sierpińskiego
• zbiór Cantora

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:Cytuj stronę Wersja interaktywna wraz z kodem źródłowym (Processing)
• Szablon:Cytuj stronę Dynamiczny generator fraktalu

Anglojęzyczne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Sierpiński gasket Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Szablon:Otwarty dostęp Grant Sanderson, Binary, Hanoi and Sierpinski, kanał 3blue1brown na YouTube, 25 listopada 2016 [dostęp 2021-03-15].