Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałymSzablon:Odn, zasada BanachaSzablon:Odn – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.

Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem.

Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też:

• uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji;
• odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.

Treść

Jeśli $(X,\rho )$ jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś $f:X\to X$ jest kontrakcją, to:

• odwzorowanie $f$ ma dokładnie jeden punkt stały $x_0$ oraz
• dla dowolnego $x\in X$ ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots )$ jest zbieżny do $x_0.$

Dowód

• Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem $\alpha \in (0,1)$ będzie stałą Lipschitza kontrakcji $f,$ a $x_1,$ $x_2$ jej punktami stałymi. Mamy wówczas

$\rho (x_1,x_2)=\rho (f(x_1),f(x_2))⩽\alpha \rho (x_1,x_2),$

$(1-\alpha )\rho (x_1,x_2)⩽0,$

$\rho (x_1,x_2)⩽0.$

W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą $\alpha ,$ implikujących $1-\alpha >0.$ Finalna nierówność zachodzi tylko dla $\rho (x_1,x_2)=0,$ co z definicji metryki oznacza, że $x_1=x_2,$ a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.

• Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt $x\in X$ i oszacujmy odległość $\rho (f^n(x),f^m(x))$ między wartością $n$-tej i $m$-tej iteracji kontrakcji $f$ dla punktu $x$ (korzystając przy tym $(|m-n|-1)$-krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg $(x,f(x),f(f(x)),\dots )$ jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo $X$ jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji $f,$ że jego granica jest punktem stałym przekształcenia $f.◼$

Możliwe są inne dowody tego twierdzenia, w tym niekonstruktywneSzablon:Odn.

Zastosowania

Za pomocą tego twierdzenia można wykazać:

• twierdzenie o funkcji uwikłanejSzablon:OdnSzablon:Odn,
• twierdzenie o funkcji odwrotnej,
• twierdzenie Stone’a-WeierstrassaSzablon:Odn,
• istnienie atraktora układu przekształceń zwężających,
• zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.

Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowychSzablon:OdnSzablon:Odn i całkowychSzablon:Fakt.

Uogólnienia

• W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie $x\mapsto \frac{1}{2}x$ jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni $(0,1)$ w siebie, pozbawioną punktów stałychSzablon:Odn.

• Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległościSzablon:Odn:

$\rho (f(x_1),f(x_2))<\rho (x_1,x_2).$ Funkcja $x\mapsto x+\frac{1}{x}:[1,+\mathrm{\infty })\to [1,+\mathrm{\infty })$ zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.

• Mimo to jeśli przestrzeń $X$ jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałegoSzablon:Fakt.

Twierdzenie zachodzi też dla funkcji:

• z kontraktywną iteracją naturalnąSzablon:Odn;
• spełnianiających nierówności typu

$\rho (f(x_1),f(x_2))⩽\phi (\rho (x_1,x_2)),$

gdzie $\phi$ jest przekształceniem przedziału $[0,+\mathrm{\infty })$ w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inneSzablon:Odn.

Twierdzenia odwrotne

Twierdzenie Bessagi

Jeśli $f:X\to X$ jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze $X,$ że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to $X$ można zmetryzować w sposób zupełny tak, by $f$ było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału $(0,1),$ zadana z górySzablon:Odn.

Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 rokuSzablon:Odn.

Twierdzenie Meyersa

Niech $(X,\rho )$ będzie zupełną przestrzenią metryczną, a $f:X\to X$ odwzorowaniem spełniającym następujące warunki:

1. $f(x_0)=x_0$ dla pewnego $x_0\in X,$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^n(x)=x_0$ dla każdego $x\in X,$
3. istnieje takie otoczenie $U$ punktu $x_0,$ że dla dowolnego otoczenia $V$ tego punktu istnieje taki indeks $n_V,$ że $F^n(V)\subset U$ dla $n⩾n_V.$

Wówczas dla dowolnej stałej $\alpha \in (0,1)$ istnieje równoważna z $\rho$ metryka zupełna na $X,$ przy której $f$ jest kontrakcją ze stałą $\alpha$Szablon:Fakt.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, Szablon:ISBN.
• William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London Szablon:ISBN.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-08-24].
• Szablon:Otwarty dostęp Contracting-mapping principle Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].