Pierścień przemienny

Pierścień przemienny (rzad. komutatywny) – pierścień, w którym mnożenie jest przemienne („komutatywne”), czyli którego wszystkie elementy ze sobą komutują, tj. dla dowolnych elementów $a,b$ danego pierścienia $R$ zachodzi $a\cdot b=b\cdot a.$

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu elementu neutralnego mnożenia (zob. pierścień z jedynką).

Przykłady

• Prototypowym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia.
• Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.
• Zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia $2$ z działaniami dodawania i mnożenia macierzy tworzy pierścień, który nie jest przemienny, przykładowo:

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right].$

• Pierścienie klas reszt modulo $n$ są przemienne dla dowolnego $n\in \mathbb{N}.$
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X$ o współczynnikach z $R$ wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień wielomianów $R[X],$ który również jest przemienny.
• Zbiór wszystkich liczb postaci $a+b\sqrt{5},$ gdzie $a$ i $b$ są dowolnymi liczbami całkowitymi.
• Twierdzenie Wedderburna: każdy skończony pierścień z dzieleniem (tj. taki, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny), jest przemienny (a więc jest ciałem).