Twierdzenie Wedderburna

Szablon:Spis treści Twierdzenie Wedderburna – twierdzenie algebraiczne mówiące, że skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne; oznacza to, że taki pierścień jest wtedy ciałem skończonymSzablon:OdnSzablon:Odn. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Wedderburna, który podał jego dowód w 1905 rokuSzablon:Odn (poniższy dowód pochodzi od Ernsta WittaSzablon:Fakt i stanowi tłumaczenie zamieszczonego w książce André Weila, zob. Bibliografia).

Dowód

Niech $F$ będzie skończonym pierścieniem z dzieleniem (z jedynką) o charakterystyce $p.$ Niech $Z$ będzie jego centrum, a $q=p^f$ niech będzie liczbą elementów $Z.$ Jeśli wymiar $F$ jako przestrzeni liniowej nad $Z$ jest równy $n,$ to $F$ ma $q^n$ elementów. Grupę multiplikatywną $F^{*}$ niezerowych elementów pierścienia $F$ można rozbić na klasy elementów sprzężonych w następującej relacji równoważności:

dwa elementy $x_1$ i $x_2$ grupy $F^{*}$ są sprzężone, jeśli istnieje taki element $y$ grupy $F^{*},$ że $x_2=y^{-1}{x}_{1}y.$

Niech dla $x\in F^{*}$ symbol $N(x)$ oznacza centralizator elementu $x$ (względem mnożenia), czyli zbiór elementów pierścienia $F$ przemiennych z $x.$ Jest to podpierścień w $F$ zawierający $Z.$ Jeśli $\delta (x)$ jest wymiarem (w sensie przestrzeni liniowej) $N(x)$ nad $Z,$ to $N(x)$ ma $q^{\delta (x)}$ elementów. Liczba $n$ jest podzielna przez $\delta (x)$ i $\delta (x)<n$ dla $x\in ̸Z.$

Ponieważ liczba elementów grupy $F^{*}$ sprzężonych z $x$ jest równa indeksowi grupy $N(x{)}^{*}$ w $F^{*},$ czyli

$\frac{q^n-1}{q^{\delta (x)}-1},$

więc

(*) $q^n-1=q-1+\sum _x\frac{q^n-1}{q^{\delta (x)}-1},$

gdzie sumowanie rozciąga się na pełny zbiór reprezentantów klas równoważności (w sensie sprzężenia) niecentralnych elementów z $F^{*}.$ Niech $n>1$ i niech

$P(T)=\prod _{\zeta }(T-\zeta ),$

gdzie iloczyn przebiega wszystkie pierwiastki pierwotne $\zeta$ z jedynki $n$-tego stopnia w ciele liczb zespolonych. Wielomian ten ma współczynniki całkowite. Jeśli $\delta$ dzieli $n$ i jest różne od $n,$ to wielomian $P$ dzieli

$\frac{T^n-1}{T^{\delta }-1}.$

Dlatego w (*) z wyjątkiem $q-1$ wszystkie składniki są podzielne przez $P(q)$ i dlatego $P(q)|q-1.$ Z drugiej strony każdy czynnik iloczynu

$P(q)=\prod _{\zeta }(q-\zeta )$

ma wartość bezwzględną większą od $q-1,$ skąd sprzeczność. Zatem $n=1$ i $F=Z,$ czyli $F$ jest pierścieniem przemiennym.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę, wyd. ros. 1972.
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę na PlanetMath (ang.)