Obraz (matematyka)

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny.

Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji $f:X\to Y$ oznacza się go $f[X],f(X),\mathrm{im}(f)$ (ang. image – obraz)Szablon:Fakt lub $W_f$:

$\{y\in Y:\mathrm{\exists }x\in Xy=f(x)\}.$

Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcjiSzablon:Fakt.

Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej $f:X\to Y$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru $X$ w zbiór $Y.$

Obraz elementu

Jeżeli $x$ jest elementem $X,$ to $f(x)=y,$ czyli wartość funkcji $f$ na elemencie $x,$ nazywa się obrazem $x$ poprzez $f.$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru $A\subseteq X$ w funkcji $f$ nazywa się podzbiór $f[A]\subseteq Y$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

$\{y\in Y:f(x)=y\text{ dla pewnego }x\in A\}=\{f(x)\in Y:x\in A\}.$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast $f[A]$ pisze się $f(A).$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez $f$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru $X,$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru $Y.$

Notacja

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. AlternatywąSzablon:Odn może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

$f^{\to }:𝒫(X)\to 𝒫(Y),$ gdzie $f^{\to }(A)=\{f(a):a\in A\},$

Notacja gwiazdkowa

$f_{\star }:𝒫(X)\to 𝒫(Y)$ zamiast $f^{\to },$

Inne

Alternatywną notacją $f[A]$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest $f^{″}A$Szablon:Fakt.

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania ${\mathrm{\Psi }}_M.$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ określona wzorem $f(x)=\{\begin{array}{cc}a& \text{dla }x=1,2\\ c& \text{dla }x=3.\end{array}$

  Obrazem zbioru $\{2,3\}$ poprzez $f$ jest $f[\{2,3\}]=\{a,c\}.$ Obrazem funkcji jest $\{a,c\}.$

• $f:ℝ\to ℝ$ dana wzorem $f(x)=x^2.$

  Obrazem $\{-2,3\}$ w $f$ jest $f[\{-2,3\}]=\{4,9\},$ a obrazem $f$ jest ${ℝ}^{+}.$

• Jeżeli $M$ jest rozmaitością, a $\pi :\mathrm{T}M\to M$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej $\mathrm{T}M$ na $M,$ to przestrzenie styczne ${\mathrm{T}}_x(M)$ dla $x\in M.$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Niech dana będzie funkcja $f:X\to Y.$ Dla wszystkich podzbiorów $A,A_1,A_2\subseteq X$ oraz $B,B_1,B_2\subseteq Y$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:

  $f[A]\subseteq Y;$

• operacja obrazu jest monotoniczna, tzn.

  $A_1\subseteq A_2\Rightarrow f\left[A_1\right]\subseteq f\left[A_2\right]$ oraz

• prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:

  $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],$

  $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$ (jeśli funkcja jest różnowartościowa, to jest równość),

• z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

  $f[A\setminus B]\supseteq f[A]\setminus f[B],$

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech $(A_i{)}_{i\in I}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $X,$ a $(B_j{)}_{j\in J}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $Y.$ Wówczas

• $f[\bigcup A_i]=\bigcup f\left[A_i\right],$
• $f[\bigcap A_i]\subseteq \bigcap f\left[A_i\right]$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. $|f[A]|⩽|A|,$ a równość zachodzi dla iniekcji (funkcji różnowartościowych)Szablon:Fakt.

Związki z przeciwobrazem

Działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

• $f[f^{-1}[B]]\subseteq B$ (równość dla funkcji „na”),
• $f^{-1}[f[A]]\supseteq A$ (równość dla funkcji różnowartościowej),
• $f[A]\subseteq B\iff A\subseteq f^{-1}[B];$

Zobacz też

• obraz w teorii kategorii

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-10-10].
• Szablon:Otwarty dostęp Range of values Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-12-21].