Funkcja o wahaniu ograniczonym

Funkcja $f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ o wahaniu nieograniczonym

Funkcja o wahaniu ograniczonym – w analizie matematycznej jest to funkcja, której zmienność

jest, nieformalnie mówiąc, skończona, czyli funkcja nie oscyluje bez ograniczenia.

Funkcja$f(x)=x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$o wahaniu nieograniczonym

Przestrzeń wszystkich funkcji określonych na obszarze

$\mathrm{\Omega }$

o wahaniu ograniczonym jest oznaczana przez

$BV(\mathrm{\Omega }).$

Funkcja $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ o wahaniu ograniczonym

Pojęcie pochodzi od Camille’a Jordana.

Funkcje zmiennej rzeczywistej

Definicja

Całkowite wahanie dla funkcji rzeczywistej $f:[a,b]\to ℝ$

definiujemy jako odpowiednie supremum:

$\underset{P}{\sup }\sum _i|f(x_{i+1})-f(x_i)|,$

które jest brane po wszystkich możliwych rozbiciach $P=\{x_1,\dots ,x_n\mid x_1<\cdots <x_n\}$ przedziału $[a,b].$ Jeśli wahanie funkcji $f$ jest skończone, to powiemy, że jest to funkcja o wahaniu ograniczonym. W przeciwnym wypadku $f$ nazwiemy funkcją o wahaniu nieograniczonym.

Definicja może być łatwo rozszerzona do opisu wahania funkcji zespolonych o argumentach rzeczywistych.

Przykład

Funkcja $f:[0,1]\to ℝ$ dana wzorem $f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ dla $x\ne 0$ oraz $f(0)=0$ jest funkcja o wahaniu nieograniczonym. Jej wykresem jest sinusoida zagęszczona: przy $x$ malejącym do zera iloraz $\frac{1}{x}$ rośnie coraz szybciej w kierunku nieskończoności, więc sinus dla tego argumentu przejdzie przez nieskończoną liczbę oscylacji, co oznacza nieskończoną liczbę przejść od $-1$ do $1$ i z powrotem do $-1.$ Pokazuje to obrazek u góry.

To, że funkcja ta ma wahanie nieograniczone uzasadnia się wprost z definicji: wystarczy wziąć ciąg rozbić $P_n=\{\frac{2}{(2n+1)\pi },\dots ,\frac{2}{3\pi },\frac{2}{\pi }\}$ i wtedy kolejne sumy

$\sum _{i=2}^n|f\left(\frac{2}{(2i+1)\pi }\right)-f\left(\frac{2}{(2i-1)\pi }\right)|$

są równe $2n,$ co też, z racji możliwości wzięcia dowolnie dużego $n,$ daje nieograniczoność wahania funkcji $f.$

Funkcje wielu zmiennych

W przypadku funkcji wielu zmiennych, funkcjami o wahaniu ograniczonym nazywamy te funkcje, których pochodnymi w sensie dystrybucyjnymi są skończone miary Radona o wartościach wektorowych.

Definicja

Niech $\mathrm{\Omega }$ będzie otwartym podzbiorem ${ℝ}^n.$ Funkcję $u\in L^1(\mathrm{\Omega })$ nazwiemy funkcją o wahaniu ograniczonym, jeśli jej pochodna w sensie dystrybucji jest skończoną wektorową miarą Radona, czyli istnieje $Du\in ℳ(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$ takie, że

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(x)\mathrm{div}\phi (x)\mathrm{d}x=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }⟨\phi ,Du(x)⟩\text{dla wszystkich }\phi \in C_c^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n).$

Związek z krzywymi prostowalnymi

Funkcja ciągła $f:[a,b]\to ℝ$ może być rozumiana jako droga w przestrzeni metrycznej $ℝ.$ Wówczas $f$ jest funkcją o wahaniu ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest krzywą prostowalną, czyli ma skończoną długość.

Związek z teorią miary

W teorii miary, funkcje o wartościach rzeczywistych lub zespolonych o wahaniu ograniczonym są w istocie dystrybuantami miar borelowskich odpowiednio ze znakiem lub zespolonych, to jest funkcjami danymi wzorem:

$F_{\mu }(x)=\mu ((-\mathrm{\infty },x])$

dla ustalonej miary $\mu$.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę