Q-analog: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 22:04, 7 maj 2024

Szablon:Małą literą Szablon:Spis treści $q$ -analog – twierdzenie bądź tożsamość zawierająca zmienną $q,$ które dają dobrze znany wynik przy wzięciu granicy przy $q \to 1$ (w większości sytuacji wewnątrz zespolonego koła jednostkowego). Najwcześniejszym szczegółowo studiowanym $q$ -analogiem był podstawowy szereg hipergeometryczny wprowadzony w XIX wieku.

$q$ -analogi znajdują zastosowanie w wielu działach, w tym studiach nad fraktalami, czy miarami wielofraktalnymi (Szablon:Ang.) i wyrażeniami entropii chaotycznych systemów dynamicznych. Związek z fraktalami i systemami dynamicznymi wynika z faktu, iż większość schematów fraktalnych ma w ogólności symetrie grup Fuchsa (zob. przykładowo Indra's Pearls i sieć Apoloniusza), a w szczególności – grup modularnych. Związek łączy geometrię hiperboliczną i teorię ergodyczną, gdzie całki eliptyczne i formy modularne grają główną rolę; już same $q$ -szeregi są blisko związane z całkami eliptycznymi.

$q$ -analogi pojawiają się również podczas studiowania grup kwantowych oraz w $q$ -zdeformowanych superalgebrach. Związek jest tu podobny w tym, iż większość teorii strun wyrażona jest w języku powierzchni Riemanna, co stanowi połączenie z krzywymi eliptycznymi, które mają z kolei związek z $q$ -szeregami.

Wstępne przykłady

Zauważając, że

\lim_{q \to 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = n

(nie jest niezbędnym w skończonych wyrażeniach tego typu ograniczenie $q$ do wnętrza okręgu jednostkowego), można zdefiniować $q$ -analog liczby $n,$ znany także jako $q$ -nawias lub $q$ -liczba $n,$ jako

[n]_{q} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} .

Za jego pomocą można zdefiniować $q$ -analog silni, $q$ -silnię, jako

\begin{matrix} [n]_{q}! & = [1]_{q} [2]_{q} \dots [n - 1]_{q} [n]_{q} \\ = \frac{1 - q}{1 - q} \frac{1 - q^{2}}{1 - q} \dots \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \\ = 1 (1 + q) \dots (1 + q + \dots + q^{n - 2}) (1 + q + \dots + q^{n - 1}) . \end{matrix}

Raz jeszcze zwykłą silnię uzyskuje się przechodząc do granicy przy $q \to 1 .$

Korzystając z $q$ -silni można przejść do definicji współczynników $q$ -dwumianowych, znanych również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa lub dwumiany Gaussa:

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[n - k]_{q}! [k]_{q}!} .

q-analogi kombinatoryczne

Współczynniki Gaussa zliczają podprzestrzenie skończonej przestrzeni liniowej. Niech $q$ będzie liczbą elementów ciała skończonego (liczba $q$ jest wtedy potęgą liczby pierwszej, $q = p^{r},$ tak więc wykorzystanie litery $q$ jest szczególnie stosowne). Wówczas liczba $k$ -wymiarowych podprzestrzeni $b$ -wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $q$ -elementowym wynosi

{[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}]}_{q} .

Zbiegając z $q$ do $1$ uzyskuje się współczynnik dwumianowy

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

lub innymi słowy liczbę $k$ -elementowych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego.

Na tej podstawie skończoną przestrzeń liniową można postrzegać za $q$ -uogólnienie zbioru, a jej podprzestrzenie jako $q$ -uogólnienia jego podzbiorów. Okazał się to owocny punkt widzenia podczas znajdowania nowych, interesujących twierdzeń. Przykładowo istnieją $q$ -analogi twierdzenia Spernera i teorii Ramseya.

q → 1

W przeciwieństwie do uzmienniania $q$ i postrzegania $q$ -analogów jako deformacji można rozważać przypadek kombinatoryczny $q = 1$ jako granicę $q$ -analogów przy $q \to 1$ (często nie można po prostu przyjąć we wzorach $q = 1,$ stąd potrzeba brania granic).

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Szablon:Springer