Zespół kanoniczny

Zespół kanoniczny – zespół stanów pewnego układu kontaktującego się termicznie ze zbiornikiem o ustalonej temperaturze. Prawdopodobieństwo, że układ ten znajdzie się w określonym stanie o energii E_i jest dane rozkładem kanonicznym

$P(E_i)=\frac{\exp (-\frac{E_i}{kT})}{Z},$

gdzie

k – stała Boltzmanna,

T – temperatura zbiornika,

Z – suma statystyczna.

Wzór na sumę statystyczną wynika z warunku unormowania rozkładu po całym zespole kanonicznym do jedności

$Z=\sum _{i=1}^N\exp (-\frac{E_i}{kT}),$

gdzie:

N – liczba możliwych stanów układu.

Średnią wartość pewnego parametru θ tego układu można wyznaczyć ze wzoru

$⟨\theta ⟩=\sum _{i=1}^N{\theta }_{i}P\left(E_i\right),$

czyli

$⟨\theta ⟩=\frac{\sum _{i=1}^N{\theta }_i\exp (-\frac{E_i}{kT})}{\sum _{i=1}^N\exp (-\frac{E_i}{kT})}.$

Związek z termodynamiką

Kanoniczna suma statystyczna jest powiązana z energią swobodną Helmholtza zależnością

$F=-kT\ln (Z).$

Dla układu kanonicznego energia swobodna nigdy nie rośnie.

Energia w układzie kanonicznym

$⟨E⟩=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln (Z),$

gdzie:

$\beta =\frac{1}{kT},$

$k$ – stała Boltzmana,

$T$ – temperatura.

Natomiast dyspersja względna $\frac{{\sigma }_E}{⟨E⟩}\simeq \frac{1}{\sqrt{N}}$ więc przy liczbach cząstek rzędu liczby Avogadry (~10²³), średnia energia jest stała, dlatego też można ją utożsamiać z energią wewnętrzną $U.$

Zobacz też

• termodynamika statystyczna
• układ mikrokanoniczny
• układ wielki kanoniczny

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę