Zbiór nigdziegęsty

Zbiór $A$ przestrzeni $(X,\tau )$ nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

$\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{\varnothing }.$

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni $X.$

Definicja formalna

Zbiór $A\subseteq X$ jest nigdziegęsty w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym $U$ można znaleźć niepusty podzbiór otwarty $V,$ rozłączny z $A$ (tj. $V\subseteq U\setminus A$).

Własności

• Rodzina $\mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ wszystkich nigdziegęstych podzbiorów $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X,$ tzn.

jeśli $A,B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X),$ to $A\cup B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X),$ oraz

jeśli $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ i $B\subseteq A,$ to $B\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X),$ oraz

$X\notin \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X).$

• Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
• Jeśli $A\subseteq Y\subseteq X$ i $A$ jest nigdziegęsty w $Y$ (tzn. $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y)$ gdy $Y$ jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X).$
• Załóżmy, że $A\subseteq Y\subseteq X$ oraz albo $Y$ jest gęstym podzbiorem $X$ lub $Y$ jest otwarty w $X.$ Wówczas $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\in \mathrm{N}\mathrm{W}\mathrm{D}(Y).$

Przykłady

• Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
• Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w $ℝ$).
• Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory $ℝ$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku $n$ odcinków długości $5^{-n}.$

Uogólnienia

s₀-zbiory

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie $(s_0)$-zbiorów.

Powiemy, że podzbiór $A$ prostej rzeczywistej $ℝ$ jest $(s_0)$-zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru $P\subseteq ℝ$ można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z $A.$

Zbiory $(s_0)$ tworzą $\sigma$-ideał podzbiorów $ℝ.$

Zbiory A-nigdziegęste

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów $(s_0)$ i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech $𝒜$ będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni $X.$ Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest $𝒜$-nigdziegęsty jeśli każdy element $U\in 𝒜$ zawiera podzbiór $V\in 𝒜$ rozłączny z $A.$

Jeśli $𝒜$ jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów $X,$ to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory $X.$ Jeżeli $𝒜$ jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś $X=ℝ,$ to otrzymujemy z kolei $(s_0)$-zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin $𝒜$ używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też

• ideał w teorii mnogości
• zbiory Marczewskiego
• zbiór pierwszej kategorii