Wzory Cramera

Wzory Cramera – twierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych. Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie), stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).

Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych

$x_1{𝐚}_1+\dots +x_n{𝐚}_n=𝐛,$

gdzie $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$ oraz $𝐛=(b_1,\dots ,b_n).$

Jeśli wyznacznik $\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)\ne 0,$ to układ jest

• oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami:

  $\begin{array}{cc}{x}_1& =\frac{\det (𝐛,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)}{\det ({𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)},\\ & ⋮\\ x_n& =\frac{\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_{n-1},𝐛)}{\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_{n-1},{𝐚}_n)}.\end{array}$

W przeciwnym przypadku, gdy $\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)=0,$ układ jest

• sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy

  choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający $𝐛$ jest różny od zera;

• nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy

  wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające $𝐛$ są równe zeru.

Dowód

Lemat

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.

Konieczność

Dowód nie wprost. Jeśli $\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)=0,$ to układ ${𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n$ jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor $y=(y_1,\dots ,y_n),$ dla którego

$y_1{𝐚}_1+\dots +y_n{𝐚}_n=\mathrm{𝟎},$

co oznacza, że

$(x_1+y_1){𝐚}_1+\dots +(x_n+y_n){𝐚}_n=𝐛,$

czyli wektor $𝐱+𝐲$ jest jeszcze jednym, różnym od $𝐱,$ rozwiązaniem danego układu.

Dostateczność

Niezerowy wyznacznik, $\det ({𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n)\ne 0,$ pociąga liniową niezależność układu ${𝐚}_1,\dots ,{𝐚}_n,$ który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ $𝐛$ jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie

$x_1{𝐚}_1+\dots +x_n{𝐚}_n=𝐛$

w tej bazie, zatem $𝐱$ jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Dowód

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor $𝐱,$ który spełniałby

$x_1{𝐚}_1+\dots +x_n{𝐚}_n=𝐛,$

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

$\det (𝐛,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)=\det (\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐚}_i,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i\det ({𝐚}_i,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n),$

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

$\det (𝐛,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)=x_1\det ({𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n),$

skąd jest

$x_1=\frac{\det (𝐛,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)}{\det ({𝐚}_1,{𝐚}_2,\dots ,{𝐚}_n)}.$

Pozostałe współrzędne wektora $𝐱$ otrzymuje się analogicznie.

Przykłady

Układy małych stopni

Układ równań

$\{\begin{array}{c}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}$

zapisany w postaci macierzowej ma postać

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right].$

Jego rozwiązania mają wtedy postać

$x=\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

oraz

$y=\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{af-ec}{ad-bc}.$

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

$\{\begin{array}{c}ax+by+cz=j\\ dx+ey+fz=k\\ gx+hy+iz=l\end{array}$

zapisuje się w postaci macierzowej jako

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right],$

a jego rozwiązaniami są wtedy

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}\text{ oraz }z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}.$

Pochodne funkcji uwikłanych

Szablon:Zobacz też Niech dane będą dwa równania $F(x,y,u,v)=0$ oraz $G(x,y,u,v)=0.$ Jeśli $u$ oraz $v$ są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że $x$ oraz $y$ dają się wyrazić jako $x=X(u,v)$ oraz $y=Y(u,v).$ Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego $\frac{\partial x}{\partial u}.$

Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej, należy w pierwszej kolejności obliczyć różniczki $F,$ $G,$ $x$ oraz $y,$ za pomocą których zostanie ona wyrażona:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}F& =\frac{\partial F}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial F}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial F}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial F}{\partial v}\mathrm{d}v=0\\ \mathrm{d}G& =\frac{\partial G}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial G}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial G}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial G}{\partial v}\mathrm{d}v=0\\ \mathrm{d}x& =\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}v\\ \mathrm{d}y& =\frac{\partial y}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial y}{\partial v}\mathrm{d}v.\end{array}$

Podstawiając $\mathrm{d}x$ oraz $\mathrm{d}y$ do równań na $\mathrm{d}F$ oraz $\mathrm{d}G,$ otrzymuje się:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}F& =(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial u})\mathrm{d}u+(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial v})\mathrm{d}v=0\\ [6pt]\mathrm{d}G& =(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial u})\mathrm{d}u+(\frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial v})\mathrm{d}v=0.\end{array}$

Ponieważ $u$ i $v$ są niezależne, to współczynniki przy $\mathrm{d}u$ i $\mathrm{d}v$ muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}& =-\frac{\partial F}{\partial u}\\ \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}& =-\frac{\partial G}{\partial u}\end{array}$

oraz

$\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}& =-\frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial G}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}& =-\frac{\partial G}{\partial v}.\end{array}$

Ze wzorów Cramera wynika teraz

$\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\left|\begin{array}{cc}-\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ -\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}\end{array}\right|}=\frac{-\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}},$

czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.

Podobne wzory można wyprowadzić dla $\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial v}.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Układy równań algebraicznych cz. II. Metoda Cramera, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].