Wikiprojekt:Tłumaczenie artykułów/1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Kilka pierwszych tysięcy wyrazów sum częściowych szeregu 1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + · · · w matematyce jest to nieskończony szereg, którego wyrazami są kolejne liczby całkowite dodatnie, wzięte z przemiennym znakiem. Zapisując standardowo sumowanie z użyciem wielkiej litery sigma możemy szereg wyrazić jako:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}.$

Szereg ten jest rozbieżny, tzn. ciąg jego sum częściowych Szablon:Nowrap nie dąży do żadnej skończonej granicy. Równoważnie mówimy, że szereg Szablon:Nowrap nie ma sumy.

Mimo to, w połowie 18 wieku Leonhard Euler napisał równanie, które sam nazwał paradoksalnym:

$1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{4}.$

Ścisłe objaśnienie tego równania pojawiło się jednak znacznie później. Dopiero po 1890 roku Ernesto Cesàro, Émile Borel i inni badali ściśle określone metody przypisywania uogólnionych sum szeregom rozbieżnym – w tym obejmujące nowe interpretacje prób Eulera. Mimo wszystko wiele tych metod łatwo przypisuje szeregowi Szablon:Nowrap "sumę" $\frac{1}{4}$. en:Cesàro summation jest jedną z kilku metod, które nie definiują sumy dla szeregu Szablon:Nowrap tak, że szereg jest przykładem wymagającym metody nieco silniejszej, takiej jak suma en:Abel summation.

Szereg 1 − 2 + 3 − 4 + … jest blisko związany z szeregiem Grandiego Szablon:Nowrap. Euler omawiał je jako specjalne przypadki Szablon:Nowrap dla dowolnego n. Ten kierunek badań rozszerzył jego prace na problem bazylejski, wiodąc ku równaniom funkcyjnym, których rozwiązania dziś znane są jako funkcja "eta" Dirichleta oraz funkcja "dzeta" Riemanna.

Rozbieżność

Kolejne wyrazy ciągu (1, −2, 3, −4, …) nie zbliżają się do zera; stąd, na mocy twierdzenia przeciwstawnego do warunku koniecznego zbieżności szeregu, szereg Szablon:Nowrap jest rozbieżny. Dla dalszego wywodu przyda się wyjaśnić tę rozbieżność w sposób bardziej podstawowy. Z definicji zbieżność albo rozbieżność szeregu wynika ze zbieżności albo rozbieżności ciągu jego sum częściowych, zaś ciągiem sum częściowych szeregu Szablon:Nowrap jest:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

Ciąg ten ma za wyrazy wszystkie liczby całkowite (również 0, jeśli uwzględnić sumę pustą – por. Dodawanie#Zapis oraz liczba składników), ustala więc przeliczalność zbioru $\mathbb{Z}$ liczb całkowitych. Ciąg sum częściowych wyraźnie pokazuje, że szereg nie jest zbieżny do żadnej konkretnej liczby (dla każdej zaproponowanej granicy x, można wskazać punkt, poza którym kolejne częściowe sumy są poza przedziałem [x-1, x+1]), a więc 1 − 2 + 3 − 4 + … jest rozbieżny.

Heuristics for summation

Stabilność i liniowość

Ponieważ kolejne wyrazy 1, −2, 3, −4, 5, −6, … tworzą prosty wzór, szereg Szablon:Nowrap może być manipulowany poprzez przesunięcia i term-by-term addition, aby uzyskać wartość numeryczną. Jeśli ma sens zapisanie Szablon:Nowrap dla pewnej liczby, to następujące manipulacje wykazują, że Szablon:Nowrap

$\begin{array}{ccccccc}4s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )& +(1-2+3-4+\cdots )\\ & =& & (1-2+3-4+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& +1+(-2+3-4+5+\cdots )& -1+(3-4+5-6\cdots )\\ & =& 1+[& (1-2-2+3)& +(-2+3+3-4)& +(3-4-4+5)& +(-4+5+5-6)+\cdots ]\\ & =& 1+[& 0+0+0+0+\cdots ]\\ 4s& =& 1\end{array}$

Suma 4 kopii szeregu Szablon:Nowrap, przy wykorzystaniu tylko przesunięć i term-by-term addition, wynosi 1. Lewa i prawa strona rysunku reprezentują dwie kopie Szablon:Nowrap, które są upraszczane do równania Szablon:Nowrap

Stąd

$s=\frac{1}{4}$

. Sposób postępowania został przedstawiony graficznie na rysunku po prawej stronie.

Chociaż 1 − 2 + 3 − 4 + … nie posiada sumy w zwyczajnym znaczeniu, równanie Szablon:Nowrap może zostać uznane jako najbardziej naturalne rozwiązanie, jeśli suma miałaby zostać określona. Uogólnioną definicję "sumy" szeregu rozbieżnego nazywa się metodą sumowania, która dodaje pewne podzbiory ze wszystkich możliwych szeregów. Istnieje wiele różnych metod (kilka z nich jest opisanych poniżej), charakteryzowanych na podstawie właściwości, które współdzielą ze zwykłym dodawaniem. Powyższe manipulacje dowodzą tego, że: biorąc pod uwagę metodę sumowania, która jest stabilna i liniowa oraz sumuje szereg Szablon:Nowrap, otrzymujemy $\frac{1}{4}$. Dodatkowo, ponieważ:

$\begin{array}{cccccc}2s& =& & (1-2+3-4+\cdots )& +& (1-2+3-4+\cdots )\\ & =& 1+& (-2+3-4+\cdots )& +1-2& +(3-4+5\cdots )\\ & =& 0+& (-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\ \frac{1}{2}& =& & 1-1+1-1\cdots \end{array}$

metoda ta musi również sumować Szereg Grandiego jako Szablon:Nowrap

Cauchy product

In 1891, Ernesto Cesàro expressed hope that divergent series would be rigorously brought into calculus, pointing out, "One already writes Szablon:Nowrap and asserts that both the sides are equal to $\frac{1}{4}$." For Cesàro, this equation was an application of a theorem he had published the previous year, one that may be identified as the first theorem in the history of summable divergent series. The details on his summation method are below; the central idea is that Szablon:Nowrap is the Cauchy product of Szablon:Nowrap with Szablon:Nowrap.

The Cauchy product of two infinite series is defined even when both of them are divergent. In the case where Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, the terms of the Cauchy product are given by the finite diagonal sums

$\begin{array}{ccc}{c}_n& =& \sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(-1{)}^{n-k}\\ & =& \sum _{k=0}^n(-1{)}^n=(-1{)}^n(n+1).\end{array}$

The product series is then

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1)=1-2+3-4+\cdots .$

Thus a summation method that respects the Cauchy product of two series and sums Szablon:Nowrap will also sum Szablon:Nowrap. With the result of the previous section, this implies an equivalence between summability of Szablon:Nowrap and Szablon:Nowrap with methods that are linear, stable, and respect the Cauchy product.

Cesàro's theorem is a subtle example. The series Szablon:Nowrap is Cesàro-summable in the weakest sense, called Szablon:Nowrap while Szablon:Nowrap requires a stronger form of Cesàro's theorem, being Szablon:Nowrap Since all forms of Cesàro's theorem are linear and stable, the values of the sums are as we have calculated.

Specific methods

Cesàro and Hölder

Data about the (H, 2) sum of $\frac{1}{4}$

To find the (C, 1) Cesàro sum of 1 − 2 + 3 − 4 + …, if it exists, one needs to compute the arithmetic means of the partial sums of the series. The partial sums are

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

and the arithmetic means of these partial sums are

1, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{3}{5}$, 0, $\frac{4}{7}$, ….

This sequence of means does not converge, so 1 − 2 + 3 − 4 + … is not Cesàro summable.

There are two well-known generalizations of Cesàro summation: the conceptually simpler of these is the sequence of (H, n) methods for natural numbers n. The (H, 1) sum is Cesàro summation, and higher methods repeat the computation of means. Above, the even means converge to $\frac{1}{2}$, while the odd means are all equal to 0, so the means of the means converge to the average of 0 and $\frac{1}{2}$, namely $\frac{1}{4}$. So Szablon:Nowrap is (H, 2) summable to $\frac{1}{4}$.

The "H" stands for Otto Hölder, who first proved in 1882 what mathematicians now think of as the connection between Abel summation and (H, n) summation; Szablon:Nowrap was his first example. The fact that $\frac{1}{4}$ is the (H, 2) sum of Szablon:Nowrap guarantees that it is the Abel sum as well; this will also be proved directly below.

The other commonly formulated generalization of Cesàro summation is the sequence of (C, n) methods. It has been proven that (C, n) summation and (H, n) summation always give the same results, but they have different historical backgrounds. In 1887, Cesàro came close to stating the definition of (C, n) summation, but he gave only a few examples. In particular, he summed Szablon:Nowrap to $\frac{1}{4}$ by a method that may be rephrased as (C, n) but was not justified as such at the time. He formally defined the (C, n) methods in 1890 in order to state his theorem that the Cauchy product of a (C, n)-summable series and a (C, m)-summable series is (C, m + n + 1)-summable.

Abel summation

Some partials of 1−2x+3x²+…; 1/(1 + x)²; and limits at 1

In a 1749 report, Leonhard Euler admits that the series diverges but prepares to sum it anyway:

Euler proposed a generalization of the word "sum" several times; see Euler on infinite series. In the case of Szablon:Nowrap his ideas are similar to what is now known as Abel summation:

There are many ways to see that, at least for absolute values |x| < 1, Euler is right in that

$1-2x+3x^2-4x^3+\cdots =\frac{1}{(1+x{)}^2}.$

One can take the Taylor expansion of the right-hand side, or apply the formal long division process for polynomials. Starting from the left-hand side, one can follow the general heuristics above and try multiplying by (1+x) twice or squaring the geometric series Szablon:Nowrap Euler also seems to suggest differentiating the latter series term by term.

In the modern view, the series 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … does not define a function at Szablon:Nowrap so that value cannot simply be substituted into the resulting expression. Since the function is defined for all Szablon:Nowrap one can still take the limit as x approaches 1, and this is the definition of the Abel sum:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n(-x{)}^{n-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Euler and Borel

Euler summation to $\frac{1}{2}$ − $\frac{1}{4}$

Euler applied another technique to the series: the Euler transform, one of his own inventions. To compute the Euler transform, one begins with the sequence of positive terms that makes up the alternating series—in this case Szablon:Nowrap The first element of this sequence is labeled a₀.

Next one needs the sequence of forward differences among Szablon:Nowrap; this is just Szablon:Nowrap The first element of this sequence is labeled Δa₀. The Euler transform also depends on differences of differences, and higher iterations, but all the forward differences among Szablon:Nowrap are 0. The Euler transform of Szablon:Nowrap is then defined as

$\frac{1}{2}{a}_0-\frac{1}{4}\mathrm{\Delta }{a}_0+\frac{1}{8}{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0-\cdots =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}.$

In modern terminology, one says that Szablon:Nowrap is Euler summable to $\frac{1}{4}$.

The Euler summability implies another kind of summability as well. Representing Szablon:Nowrap as

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(k+1),$

one has the related everywhere-convergent series

$a(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(k+1)x^k}{k!}=e^{-x}(1-x).$

The Borel sum of 1 − 2 + 3 − 4 + … is therefore

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}a(x)dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2x}(1-x)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}.$

Separation of scales

Saichev and Woyczyński arrive at Szablon:Nowrap by applying only two physical principles: infinitesimal relaxation and separation of scales. To be precise, these principles lead them to define a broad family of "φ-summation methods", all of which sum the series to $\frac{1}{4}$:

• If φ(x) is a function whose first and second derivatives are continuous and integrable over (0, ∞), such that φ(0) = 1 and the limits of φ(x) and xφ(x) at +∞ are both 0, then

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m(m+1)\phi (\delta m)=\frac{1}{4}.$

This result generalizes Abel summation, which is recovered by letting φ(x) = exp(-x). The general statement can be proved by pairing up the terms in the series over m and converting the expression into a Riemann integral. For the latter step, the corresponding proof for Szablon:Nowrap applies the mean value theorem, but here one needs the stronger Lagrange form of Taylor's theorem.

Uogólnienia

Euler sums similar series in the 1755 Institutiones

The threefold Cauchy product of Szablon:Nowrap is Szablon:Nowrap the alternating series of triangular numbers; its Abel and Euler sum is $\frac{1}{8}$. The fourfold Cauchy product of Szablon:Nowrap is Szablon:Nowrap the alternating series of tetrahedral numbers, whose Abel sum is $\frac{1}{16}$.

Another generalization of 1 − 2 + 3 − 4 + … in a slightly different direction is the series Szablon:Nowrap for other values of n. For positive integers n, these series have the following Abel sums:

$1-2^n+3^n-\cdots =\frac{2^{n+1}-1}{n+1}{B}_{n+1}$

where B_n are the Bernoulli numbers. For even n, this reduces to

$1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.$

This last sum became an object of particular ridicule by Niels Henrik Abel in 1826:

"Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that

0 = 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + etc.

where n is a positive number. Here's something to laugh at, friends."

Cesàro's teacher, Eugène Charles Catalan, also disparaged divergent series. Under Catalan's influence, Cesàro initially referred to the "conventional formulas" for Szablon:Nowrap as "absurd equalities", and in 1883 Cesàro expressed a typical view of the time that the formulas were false but still somehow formally useful. Finally, in his 1890 Sur la multiplication des séries, Cesàro took a modern approach starting from definitions.

The series are also studied for non-integer values of n; these make up the Dirichlet eta function. Part of Euler's motivation for studying series related to Szablon:Nowrap was the functional equation of the eta function, which leads directly to the functional equation of the Riemann zeta function. Euler had already become famous for finding the values of these functions at positive even integers (including the Basel problem), and he was attempting to find the values at the positive odd integers (including Apéry's constant) as well, a problem that remains elusive today. The eta function in particular is easier to deal with by Euler's methods because its Dirichlet series is Abel summable everywhere; the zeta function's Dirichlet series is much harder to sum where it diverges. For example, the counterpart of Szablon:Nowrap in the zeta function is the non-alternating series Szablon:Nowrap, which has deep applications in modern physics but requires much stronger methods to sum.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę Pierwotnie opublikowane jako: Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj pismo
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

[[bn:১ − ২ + ৩ − ৪ + · · ·]] [[ca:1 − 2 + 3 − 4 + ...]] [[da:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[en:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[es:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[fa:۱ - ۲ + ۳ - ۴ +...]] [[fr:Série alternée des entiers]] [[it:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[lv:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[ja:1-2+3-4+…]] [[no:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[pt:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[sl:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[fi:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[th:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[tr:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·]] [[zh:1-2+3-4+…]]