Wielomian cyklotomiczny

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$ $n$-ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany jako

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\prod _{\xi }(X-\xi )=\prod _{\stackrel{1⩽k⩽n}{\gcd (k,n)=1}}(X-e^{2i\pi \frac{k}{n}}),$

gdzie iloczyn przebiega przez wszystkie pierwiastki pierwotne z jedynki stopnia $n$ (takie, że $\xi$ nie jest pierwiastkiem mniejszego stopnia).

Własności

• stopień ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ wynosi $\varphi (n)$ (funkcja Eulera);
• wielomian ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ dzieli $X^n-1,$ ale nie dzieli $X^k-1$ dla żadnego $k<n;$
• współczynniki ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ są całkowite;
• wielomian ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ jest nierozkładalny nad ciałem liczb wymiernych;
• ciało cyklotomiczne, będące rozszerzeniem ciała liczb wymiernych o pierwiastki $n$-tego stopnia z jedności, jest ciałem rozkładu wielomianu ${\mathrm{\Phi }}_n(X);$
• zachodzą wzory

$X^n-1=\prod _{d|n}{\mathrm{\Phi }}_d(X),$

${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\prod _{d|n}(X^d-1{)}^{\mu (\frac{n}{d})},$

gdzie $\mu (n)$ jest funkcją Möbiusa.

Dla liczb pierwszych $p$

${\mathrm{\Phi }}_p(X)=X^{p-1}+X^{p-2}+\dots +X+1.$

Wielomiany cyklotomiczne mogą być wykorzystane przy elementarnym dowodzie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych przystających do 1 modulo $n$ (szczególny przypadek twierdzenia Dirichleta).

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld