Twierdzenie de Rhama

Twierdzenie de Rhama jest istotnym twierdzeniem geometrii różniczkowej, które formalizuje relację między łańcuchami a formami różniczkowymi. W zasadzie mówi ono, iż występuje izomorfizm między n-tymi grupami homologii i kohomologii:

$H_n(X)\cong H^n(X).$

Intuicyjnie oznacza to, że istnieje pewna więź między obszarem całkowania a formą różniczkowaną pod znakiem całki, w czym utwierdza nas jeszcze bardziej uogólniona postać twierdzenia Stokesa:

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}\omega .$

Definicja

N-ta grupa homologii

Dla kompleksu łańcuchowego $X$ z operatorem brzegu $\partial$, n-tą grupą homologii nazywamy grupę ilorazową

$H_n(X)=Z_n(X)/B_n(X),$

gdzie

$Z_n(X)=\ker {\partial }_n{B}_n(X)=\mathrm{i}\mathrm{m}{\partial }_{n+1}.$

N-ta grupa kohomologii

Dla kompleksu de Rhama $X$ z operatorem różniczki $d$, n-tą grupą kohomologii nazywamy grupę ilorazową

$H^n(X)=Z^n(X)/B^n(X),$

gdzie

$Z^n(X)=\ker d_{n+1}{B}^n(X)=\mathrm{i}\mathrm{m}{d}_n.$

Twierdzenie de Rhama

Przy zdefiniowaniu izomorfimu postaci

$\sigma \mapsto \omega |\underset{\sigma }{\int }\omega =0,$

gdzie $\sigma$ jest łańcuchem, a $\omega$ jest odpowiadającą mu formą różniczkową, prawdziwe jest zdanie

$H_n(X)\cong H^n(X).$

Interpretacja i konsekwencje

Poza wcześniej wspomnianym powiązaniu idei łańcucha i formy różniczkowej (a zatem obszaru całkowania i wyrażenia podcałkowego), twierdzenie to ma dalej idące konsekwencje.

Homologia jest w topologii algebraicznej istotnym narzędziem analizy natury uogólnionego geometrycznego pojęcia otworu (dziury) w rozmaitościach. Mianowicie, ilość wymiarów n-tej grupy homologicznej jest ilością n-wymiarowych dziur w rozmaitości.

Kohomologia bada natomiast pojęcie nieciągłości w kontekście analitycznym za pomocą form różniczkowych. Intuicyjnie, nieciągłości te można interpretować jako dziury, lecz nie są one w sposób nietrywialny połączone z ideą geometryczną.

Izomorfizm między grupami homologii i kohomologii dowodzi, że dziury geometryczne i analityczne są w praktyce jednoznaczne, co jest nietrywialnym wnioskiem dla rozmaitości różniczkowych

Co więcej, dowodzi on, że n-wymiarowe dziury geometryczne można badać poprzez ilość wymiarów n-tej grupy kohomologii i vice versa.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj stronę