Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Wraz ze wzrostem liczby prób $n$ wykres rozkładu dwumianowego coraz bardziej przypomina wykres krzywej Gaussa.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a – dwa twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa nazywane lokalnym i całkowym (integralnym) wskazujące związek rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) z rozkładem normalnym; można traktować je jako szczególny przypadek centralnego twierdzenia granicznego.

Przypadek symetryczny pochodzi z wydrukowanej w 1730 roku pracy Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis („Rozmaite analityka o szeregach i kwadraturach”) od Abrahama de Moivre’a, a niesymetryczny – z opublikowanego w trzy lata później dodatku Miscelaneis analyticis supplementum z 1733 roku; szerszej publiczności twierdzenia zaprezentowane zostały w drugim wydaniu dzieła The Doctrine of Chances: or, a method for calculating the probabilities of events in play („Doktryna szans: lub, metoda obliczania prawdopodobieństw zdarzeń w grze”) z 1738 roku. Twierdzenie w pełnej ogólności udowodnił Pierre Simon de Laplace w pracy Théorie analytique des probabilités („Analityczna teoria prawdopodobieństw”) z 1812 roku, który nie miał w zwyczaju powoływać się na źródła – z tego powodu do XX wieku prace Moivre’a były szerzej nieznane.

Twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a

Oznaczenia

Niech $B(n,p)$ oznacza rozkład dwumianowy dla procesu Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo osiągnięcia dokładnie $k$ sukcesów o prawdopodobieństwie $p$ w $n$ próbach dane jest wzorem

$B_k(n,p)=\mathbb{P}(S_n=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k},$

gdzie $q=1-p$ jest prawdopodobieństwem porażki, a $S_n$ oznacza liczbę sukcesów; ponadto niech $\mu =np$ oraz $\sigma =\sqrt{npq}$ oznaczają odpowiednio wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe tego rozkładu.

Rozpatrywana będzie unormowana wersja powyższego rozkładu, tzn. jego wartość oczekiwana będzie równa zeru, a jego wariancja (odchylenie standardowe) będzie jednostkowa, czyli zamiast liczby sukcesów $S_n$ rozważana będzie jej unormowana wersja $S_n^{*}=\frac{S_n-\mu }{\sigma }.$ W związku z tym niżej stosowane będą również następujące oznaczenia: $h=\frac{1}{\sigma }$ to szerokość przedziału klasowego, $k^{*}=\frac{k-\mu }{\sigma }$ to unormowane odchylenie liczby sukcesów od średniej; wygodnie będzie zakładać, że $k$ nie musi być naturalne – w szczególności $k_{\pm }=k\pm \frac{1}{2},$ skąd $k_{\pm }^{*}=k\pm \frac{1}{2}h.$

Funkcja $\phi (t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{t^2}{2})$ będzie oznaczać gęstość unormowanego rozkładu normalnego $N(0,1)$ o dystrybuancie $\mathrm{\Phi },$ podczas gdy ${\phi }_{*}(t)=h\phi (t^{*})=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$ będzie oznaczać gęstość rozkładu normalnego $N(\mu ,\sigma )$ o dystrybuancie ${\mathrm{\Phi }}_{*}(x)=\mathrm{\Phi }(x^{*}).$

Twierdzenie lokalne

Jeżeli $h|k^{*}|\max (p,q)⩽\frac{1}{2},$ to

$B_k(n,p)=h\phi (k^{*})\cdot e^{R(n,k)},$

gdzie

$|R(n,k)|⩽\frac{3}{4}|k^{*}|h+\frac{1}{3}|k^{*}{|}^{3}h+\frac{1}{3n}.$

W szczególności $R(n,k)\to 0$ dla $n,k\to \mathrm{\infty },$ czyli

$\mathbb{P}(S_n=k)\sim {\phi }_{*}(k).$

Twierdzenie całkowe

Jeżeli $h\max (|a^{*}|,|b^{*}|)\max (p,q)⩽\frac{1}{2},$ to

$\mathbb{P}(a⩽S_n⩽b)=(\mathrm{\Phi }\left(b_{+}^{*}\right)-\mathrm{\Phi }\left(a_{-}^{*}\right))\cdot e^{D(n,a,b)},$

gdzie

$|D(n,a,b)|⩽\underset{k\in \{a,b\}}{\max }(\frac{5}{4}|k^{*}|h+\frac{1}{3}|k^{*}{|}^{3}h)+\frac{1}{3n}+\frac{1}{8}{h}^2.$

W szczególności $D(n,a,b)\to 0$ dla $n\to \mathrm{\infty }$ oraz $a,b$ zmieniających się tak, by $h(a^{*}{)}^3,h(b^{*}{)}^3\to 0,$ jest wtedy

$\mathbb{P}(a⩽S_n⩽b)\sim {\mathrm{\Phi }}_{*}(b_{+})-{\mathrm{\Phi }}_{*}(a_{-});$

zachodzi również następujące, mniej dokładne, ale prostsze, a przez to częściej stosowane, przybliżenie:

$\mathbb{P}(a⩽S_n⩽b)\sim {\mathrm{\Phi }}_{*}(b)-{\mathrm{\Phi }}_{*}(a).$

W zastosowaniach najczęściej spotyka się następujący wniosek z twierdzenia całkowego:

Wniosek

Jeżeli $a^{*},b^{*}$ są stałe, to

$\mathbb{P}(a^{*}⩽S_n^{*}⩽b^{*})\sim \mathrm{\Phi }\left(b_{+}^{*}\right)-\mathrm{\Phi }\left(a_{-}^{*}\right).$

Przykłady

Liczebność próby

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a można wykorzystać do określenia minimalnej liczebności próby losowej z danej populacji w danym badaniu mającym na celu jak najbardziej miarodajne oszacowanie danej obserwacji, która zachodzi z pewnym prawdopodobieństwem, bądź nie (tj. zachodzącej zgodnie z rozkładem zero-jedynkowym). Przykładowo: w badaniu przesiewowym choroby, która jest na tyle rzadka, że nie choruje na nią więcej niż $0,5\mathrm{\%}$ populacji, przy czym błąd ma być mniejszy niż $0,001$ z prawdopodobieństwem $0,95,$ w celu wskazania chorych z ustaloną pewnością należałoby wybrać próbę co najmniej $19112$-osobową.

Reguła 3σ

Opierając się na twierdzeniu całkowym można się spodziewać, że reguła trzech sigm sformułowana dla rozkładu normalnego zachodzi również dla procesu Bernoulliego. Jedną z jej wersji jest

$\mathbb{P}(S_n\in (\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ))⩾0,997,$

o ile $\mu -3\sigma >0$ oraz $\mu +3\sigma <n,$ co można krótko zapisać $n>9\max (\frac{p}{q},\frac{q}{p})$.