Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych

Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych – twierdzenie teorii liczb, które orzeka, że w każdym ciągu arytmetycznym postaci $a+qn$ $(n=0,1,2,\dots )$ występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że $(a,q)=1$ (zapis $(x,y)$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $x$ i $y$). Dokładnie, twierdzenie to mówi, że gęstość naturalna liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym $a+qn$ w stosunku do wszystkich liczb pierwszych wynosi $\phi (q{)}^{-1},$ gdzie $\phi$ oznacza tocjent Eulera.

Treść twierdzenia

Niech $\pi (x;q,a)$ będzie funkcją zliczającą liczby pierwsze $p⩽x,$ $p\equiv a(\text{mod }q)$ Wówczas prawdziwa jest równość

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x;q,a)\log x}{x}=\frac{1}{\phi (q)},$

przy czym $\log x$ oznacza logarytm naturalny z $x.$ Treść twierdzenia Dirichleta jest silniejsza od twierdzenia o liczbach pierwszych, które, dla porównania, oznajmia, że

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)\log x}{x}=1.$

Dowody

Oryginalny dowód twierdzenia Dirichlet przeprowadził, wykorzystując analizę miejsc zerowych L-funkcji.

W 1948 r. Atle Selberg przedstawił w Annals of Mathematics dowód elementarny, oparty na swoim wcześniejszym elementarnym dowodzie twierdzenia o liczbach pierwszych. Oba bazowały na zależności

$\sum _{p⩽x}\frac{\log p}{p}=\log x+O(1)$

(gdzie suma jest wyłącznie po liczbach pierwszych $p⩽x$). Selberg w swoim rozumowaniu wykorzystał funkcję $\theta (n),$ przyjmującą niezerowe wartości dla $n$ mających 1 lub 2 dzielniki pierwsze oraz równą 0 dla wszystkich $n$ o $⩾3$ dzielnikach pierwszych, ponadto zdefiniował wagi ${\lambda }_d,$ takie, że

$\theta (n)=\sum _{d|n}{\lambda }_d.$

W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej.

Silniejsze wyniki

Rozbieżność szeregu odwrotności

Wykorzystując rozumowanie Shapira, można wykazać zależność

$\sum _{\begin{array}{c}p⩽x\\ p\equiv a(\text{mod }q)\end{array}}\frac{1}{p}=\frac{1}{\phi (q)}\log \log x+A+O\left(\frac{1}{\log x}\right)$

dla pewnej stałej $A$ zależnej od $a$ i $q,$ która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych $p\equiv a(\text{mod }q),$ a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).

Twierdzenie Siegela-Walfisza

Szablon:Osobny artykuł Twierdzenie Siegela-Walfisza dostarcza dokładniejszego opisu ilościowego funkcji $\pi (x;q,a).$ Dokładnie twierdzenie to oznajmia, że jeśli $N$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to istnieje stała $C_N$ taka, że jeśli $(a,q)=1,$ to dla wszystkich $x$ takich, że $q⩽(\log x{)}^N$ zachodzi

$\pi (x;q,a)=\frac{\text{Li}(x)}{\phi (q)}+O\left(\frac{x}{\exp \left(\frac{C_N}{2}\sqrt{\log x}\right)}\right).$

Uogólniona hipoteza Riemanna

Szablon:Osobny artykuł Przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać, że błąd w szacowaniu $\pi (x;q,a)$ spełnia zależność

$|\pi (x;q,a)-\frac{\pi (x)}{\phi (q)}|=O(\sqrt{x}\log (qx)).$

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa opisuje zachowanie błędu w szacowaniu $\pi (x;q,a),$ uśrednionego dla wielu ciągów arytmetycznych.

Jeśli $A>0$ oraz $Q>0$ są dowolnymi stałymi, a $x$ spełnia nierówności

$\frac{\sqrt{x}}{(\log x{)}^A}⩽Q⩽\sqrt{x},$

to prawdziwa jest zależność

$\sum _{q⩽Q}\underset{(a,q)=1}{\max }\underset{y⩽x}{\max }|\pi (y;q,a)-\frac{\pi (y)}{\phi (q)}|=O\left(\frac{x}{(\log x{)}^A}\right).$

Twierdzenie to jest znaczącym wynikiem udowodnionym z wykorzystaniem teorii sit i często może stanowić substytut dla uogólnionej hipotezy Riemanna w dowodach innych twierdzeń.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Twierdzenie Dirichleta, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 4 października 2017 [dostęp 2024-09-04].